Für die Tafeln ergibt sich wegen der gängigen Gesetze für 0
und 1 jedenfalls schon mal:
+ 0 1 a | * 0 1 a
0 0 1 a | 0 0 0 0
1 1 | 1 0 1 a
a a | a 0 a
Da es bzgl + eine Gruppe ist, muss jedes Element ein
additives Inverses haben.
Also muss für die 1 gelten 1+1=0 oder 1+a=0 .
Betrachte den ersten Fall:
Wäre 1+1=0 , dann bliebe für 1+a nur noch das
Ergebnis a, also 1+a=a . Wenn man hier auf beiden
Seiten das Inverse von a addiert ergibt sich der
Widerspruch 1 = 0 .
Also bleibt nur 1+a=0 , also a ist das additive Inverse von 1.
Und für 1+1 bleibt nur das Ergebnis a und a+a=1
Damit haben wir
+ 0 1 a | * 0 1 a
0 0 1 a | 0 0 0 0
1 1 a 0 | 1 0 1 a
a a 0 1 | a 0 a
Damit ist die Addition fertig und es fehlt nur noch a*a.
Betrachte dazu 0 = a*0
=a*(1+a)
= a*1 + a*a
= a + a^2
Also ist a^2 das additive Inverse zu a,
also a^2 = 1.
