Aloha :)
Die Elemente des Körpers \(K=\{0,1,a,b\}\) sind bereits gegeben.
Mit der Verknüpfung \(+\) muss \((K,+)\) eine abelsche Gruppe bilden (neutrales Element \(0\)).
Mit der Verknüpfung \(\cdot\) muss \((K,\cdot)\) eine abelsche Gruppe bilden (neutrales Element \(1\)).
Beide Verknüpfungen müssen durch ein Distriutivgesetz "verbunden" sein.
$$\begin{array}{c|cccc}\cdot & 0 & 1 & a & b\\\hline 0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0\\1 & \pink0 & \pink1 & \pink a & \pink b\\a & \pink0 & \pink a & b & 1\\b & \pink0 & \pink b & 1 & a\end{array}\quad;\quad\begin{array}{c|cccc}+ & 0 & 1 & a & b\\\hline 0 &\pink 0 & \pink 1 & \pink a & \pink b\\1 & \pink1 & \green0 & b & a\\a & \pink a & b & \green0 & \red1\\b & \pink b & a & \red 1 & \green0\end{array}$$
Zum Entstehen der Tabellen:
In der Multiplikationstabelle sind die pinken Einträge sofort klar. Bleiben die 4 schwarzen Elemente rechts unten. Da in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau 1-mal vorkommen muss und die Tabelle symmetrisch sein muss (abelsche Gruppe), ist die Position der \(1\) klar.
In der Additionstabelle sind die pinken Einträge sofort klar. In den übrigen 9 Feldern müssen wir Symmetrie herstellen (abelsche Gruppe). Das einzige Element, das in den 9 Feldern 3-mal vergeben werden muss ist die \(0\), also packen wir die auf die Diagonale. Die beiden roten \(1\) müssen in den 4 Feldern rechts unten auftauchen, da in Zeile 2 und Reihe 2 schon eine \(1\) steht. Der Rest wird aufgefüllt.
Das sind übrigens die einzigen möglichen Verknüpfungstabellen. Das heißt, die Lösung ist eindeutig.
