Zeigen Sie: (a) Z[√−5]^x = {z ∈ Z[√−5] | N(z) = 1} = {1, −1}.

Question

Aufgabe:

Für eine Zahl 0 > d ∈ Z betrachten wir

Z[√d] := {a + b√d | a,b ∈ Z} ⊆ C
als Verallgemeinerung des Gauß’schen Zahlkörpers (dort ist d = −1). Vergewissern Sie sich, dass es sich wie zuvor um einen Unterring von C handelt, und dass die bekannte Abbildung
N : Z[√d] → N₀ : a + b√d 7→ a² − b²d
multiplikativ ist. Für die folgenden Aufgaben sei d := −5. Zeigen Sie:
(a) Z[√−5]^x = {z ∈ Z[√−5] | N(z) = 1} = {1, −1}.

(b) Die Elemente 3, 2 + √−5 und 2 − √−5 sind irreduzibel und paarweise nicht assoziiert.

(c) Die irreduziblen Elemente aus (b) sind nicht prim; insbesondere ist Z[√−5] nicht faktoriell.

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Um zu zeigen, dass N multiplikativ ist, musst zu zeigen, dass $$N(xy)=N(x)N(y).$$

Das sollte nicht weiter schwer sein, ist halt viel Umformung.

Bei der (a) reicht es, die Inklusionen

$$ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^\times \subset \{z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] | N(z)=1\} \subset \{1, -1 \} \subset \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^\times $$
zu zeigen.
Bei der ersten Inklusion hilft dir die Multiplikativität, die anderen bekommst du bestimmt hin.
Auch bei der (b) hilft dir die Abbildung N, die (c) solltest du mit dem Wissen, dass die Elemente aus (b) nicht irreduzibel sind und mit der Erinnerung an die 3. binomische Formel auch hinbekommen.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort. ich habe das gemacht kannst du bitte einen Blick werfen?

zu zeigen, dass N multiplikativ ist :

N(xy) = N((a + bi)(c + di))

= N((ac − bd) + (ad + bc)i)
= (ac − bd)² + (ad + bc)²
= a²c² − 2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + b²d²
= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

= a²(c² + d²) + b²(c² + d²)

= (a² + b²)(c² + d²)
= N(x)N(y).

a) zu zeigen Z[√−5]^x = {z ∈ Z[√−5] | N(z) = 1} :

Sei x ∈ Z[√−5]. Wenn z eine Einheit ist, dann ist xy = 1 für einige y ∈ Z[√−5]. Normen von beiden nehmen Seiten, N (x) N (y) = N (1) = 1 in Z, also N (z) = 1.

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Hallo,

also die a stimmt, ich würde bloß die x durch z ersetzen, sonst macht das was du geschrieben hast wenig Sinn.

Bei der Norm musst du zeigen, dass sie multiplikativ ist. Du hast aber gezeigt, dass sie additiv ist. Also der richtige Ansatz wäre $$N(xy)=N((a+b\sqrt{d})(e+f\sqrt{d})) $$ Dann halt ausmultiplizieren, Wurzel d ausklammern und Norm verwenden.

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N((ae+bfd) + (af+ be) √d) so oder? Wenn ja was soll ich dann schreiben (ae+bfd)^2 + (af+be)^2 so?

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genau, dann die Klammern auflösen.

Als nächstes würde ich N(x)*N(y) berechnen (also praktisch am anderen Ende anfangen) und dann siehst du schon, wie du die zwei Terme gleich bekommst :)

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(ae+bfd)2 + (af+be)2

a^2e^2 + 2aebfd + b^2f^2d^2 + a^2f^2 + 2afbe + b^2e^2

a^2(e^2+f^2) + b^2(f^2d^2 +e^2) + 2abfe(d+1)

Ich komme nicht weiter

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Zu a) kannst du mir mit einer Inklusion helfen?vielen Dank im Voraus! ^_^

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Ich glaub ich hab das jetzt richtig gemacht oder? :))

N(xy) = N((ae+bfd) + (af+ be) √d) = (ae + bfd)² − d(af + be)² = a² e² + 2abdef + b² f² d² − da² f² − 2abefd − db² e² = a²(e² -d f² ) - db²(e²-f² d) = (a² -db²)(e²-f² d) = N(x)N(y).

Jetzt zu a) Könntest du mir bitte jetzt mindestens bei einer Inklusion helfen? weil ich nicht weiter komme...

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@yncsftu Könntest du mir bitte jetzt mindestens bei einer Inklusion helfen?

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sorry, ja klar.

Die erste Inklusion hast du ja schon gezeigt.

Bei der zweiten musst du nur zeigen, dass die Elemente mit der Norm 1 +1 und -1 sind.

Setze deswegen einfach

$$ z=a+b\sqrt{-5}, N(z)=1 \Rightarrow a^2+5b^2=1$$

da 5b^2 in jedem Fall größer als 1 ist, wenn du eine ganze Zahl einsetzt, muss b=0 sein. Also ist a^2=1, also a=+/-1.

Die dritte Inklusion ist eigentlich trivial, da +/-1 offensichtlich Einheiten sind.