Temperaturverlauf auf See kann modelliert werden durch O(t)=−1300⋅(t^3−36t^2+324t−5700);t∈[0;24]

Question

Wie funktioniert diese Aufgabe

An einem Tag im Frühherbst wird die Oberflächentemperatur O eines Sees gemessen. Der Temeperaturverlauf kann modelliert werden durch O(t)=−1300⋅(t3−36t2+324t−5700);t∈[0;24] in Stunden, O(t) in Grad Celsius.
a) Bestimmen Sie die höchste und tiefste Temperatur an diesem Tag.
b) Welche Bedeutung hat die Steigung der Wendetangente in diesem Zusammenhang?

Ich habe absolut keine Ahnung was ich machen muss daher habe ich auch keinen selbst gerechneten Lösungsweg. 

Answer 1

Meiner Meinung nach macht die Funktion nicht wirklich Sinn. Was wäre denn z.B. die Temperatur für t = 0 ?

Prüfe doch mal bitte die Funktion.

Answer 2

a) Berechne: O '(t) = 0

b) Wendepunkt = Punkt, an dem die Temperaturzunahme an stärksten ist.

Answer 3

a) Bestimmen Sie die höchste und tiefste Temperatur an diesem Tag.

• Bestimme die Nullstellen der Ableitung. Setze die, die zwischen 0 und 24 liegen (einschließlich) in die Funktion ein.
• Setze 0 in die Funktion ein.
  
• Setze 24 in die Funktion ein.
  

Der größte Wert, den du dadurch bekommst, ist höchste Temperatur an diesem Tag.

Der kleinste Wert, den du dadurch bekommst, ist niedrigste Temperatur an diesem Tag.

b) Welche Bedeutung hat die Steigung der Wendetangente in diesem Zusammenhang?

Sie hat keine Bedeutung, falls die x-Koordinate des Wendepunktes kleiner als 0 oder größer als 24 ist.

Sie ist die momentane Änderungsrate der Temperatur zu dem Zeitpunkt, zu dem die Erwärmung von einer Verschnellerung in eine Verlangsamung übergeht.

Comments

also ich habe nun die richtige Lösung

-1/100*(t^2-6/25+108) bekommen

nun zeigt es aber als zweite Lösung 0''(t)= 1/50(12-t) an ich komme aber weder auf 12 noch auf t?

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ich habe nun die richtige Lösung -1/100*(t²-6/25+108) bekommen

-1/100*(t²-6/25+108) ist weder die höchste, noch die tiefste Temperatur an diesem Tag, noch ist es die Bedeutung der Steigung der Wendetangente in diesem Zusammenhang.

Es ist also nicht die Lösung zu irgendeiner Aufgabe aus deiner Frage.

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Sorry habe es falsch aufgeschrieben ich meine 0'(t)= -1/100(t^2-24t+108)

aber ich komme nur auf 0''(t)= 1/50*(12-t)

auf das schwarz makierte komme ich nicht

und auch nicht auf H(18/19)

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es steht aber als Lösung drauf bei der Aufgabe

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0'(t)= -1/100(t²-24t+108)

Das ist die Ableitung von O. Die Ableitung von O ist nicht die Lösung.

Leitet man die Ableitung noch ein mal ab, dann bekommt man

        O''(t) = -1/100(2t-24)

Jetzt kann man eine -2 ausklammern und bekommt

        O''(t) = -1/100(-2(-t + 24))

Mittels Vertauschungsgesetzt bekommt man

        O''(t) = -1/100(-2(24 - t))

Assoziativgesetz liefert

        O''(t) = (-1/100·(-2))(24 - t)

was sich vereinfachen lässt zu

        O''(t) = 1/50·(24 - t)

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vielen dank habe es verstanden.

kannst du mir jetzt noch zeigen wie ich das mit den nullsteilen machen muss..

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Löse die Gleichung -1/100(t²-24t+108) = 0.

Die löst man wie jede andere quadratische Gleichung auch.

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also ich habe jetzt die Gleichung gelöst nach abc Formel bei + 18 und - 6 bekommen dann die 18 in die erste Gleichung anstatt t eingesetzt und bin auf H(18/19) gekommen stimmt das soweit

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also ich habe jetzt die Gleichung gelöst nach abc Formel bei + 18 und - 6

Ich habe 18 und 6 als Lösungen der Gleichung. Das heißt du müsstest auch 6 in O(t) einsetzen.

in die erste Gleichung anstatt t eingesetzt und bin auf H(18/19)

Das stimmt soweit, zumindest wenn du

        O(t) = −1/300·(t³ - 36t² + 324t − 5700)

verwendet hast, anstatt die etwas verunglückte Darstellung in deiner Frage :-)

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ok super! Also ich habe jetzt die Lösungen H(18/19) und T (6/16,12). Wenn es jetzt noch zusätzlich heisst ich muss die Zeit angeben wo die Temperatur am höchsten ist wie mach ich das?

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Es kann sein, dass die Temperatur um 0:00 Uhr größer ist als 19°, ohne dass du das mittels -1/100(t²-24t+108) = 0 herausfinden könntest. Setze deshalb t = 0 in O(t) ein um die Temperatur um 0:00 Uhr zu berechnen.

Ebenso mit t = 24 (0:00 Uhr des nächsten Tages).

Wenn es jetzt noch zusätzlich heisst ich muss die Zeit angeben wo die Temperatur am höchsten ist

Das ist der Wert für t, den du eingesetzt hast.

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Aber kommt das in diese O(t)=−1300⋅(t3−36t2+324t−5700) Gleichung oder wohin?

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Ja. Schließlich hast du das doch mit den anderen t-Werten auch so gemacht.