Deine Aufgabestellung enthält einen Widerspruch:
$$\sqrt{k}-1 < a(k) \leq \sqrt{k}$$ Das erste strikt kleiner und das zweite Kleiner-Gleich ist kein Fehler.
dann sollte es doch heißen:
"a(k) bezeichnet die grösste natürliche Zahl, die kleiner als oder gleich k1/2 ist."
ich gehe mal davon aus, dass \(a(k) = \lfloor \sqrt{k} \rfloor\) - also \(a(k) \le \sqrt k\), dann ist $$\sum_{k=1}^\infty 2^{-a(k)} \\ \space = \underbrace{2^{-1} + 2^{-1}+ 2^{-1}}_{k\in[1,3] \to 3} + \underbrace{2^{-2} + 2^{-2} + \dots + 2^{-2} }_{k\in[4,8] \to 5} + \underbrace{2^{-3} + \dots + 2^{-3}}_{k\in[9,15]\to 7} \dots \\ \space = \sum_{i=1}^\infty (2i+1) \left(\frac12\right)^i$$ und dies ist eine Potenzreihe, die man z.B. mit den Quotientenkriterium auf Konvergenz prüfen kann. Es ist $$a_i = 2i+1\\ a = \lim_{i \to \infty}\frac{a_{i+1}}{a_i} = \lim_{i \to \infty}\frac{2(i+1)+1}{2i+1} = \lim_{i \to \infty} \frac{2i+3}{2i+1} = 1 \\ \rho = \frac1a = 1 \gt \frac12 $$ Die Basis \(\frac12\) liegt innerhalb des Konvergenzradius \(\rho=1\), folglich konvergiert die Reihe.
