Taylorreihe durch eine bekannte Potenzreihe und größtmögliches Intervall angeben.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylorreihe von

$$ k ( x ) = \frac { x } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } $$

um \( x_0 = 0 \) durch gliedweise Differentiation einer geeigneten Potenzreihe. Geben Sie das größtmögliche offene Intervall \( ( a , b ) \subset \mathbb { R } \) an, auf dem die von Ihnen gefundene Reihe k tatsächlich darstellt.

Teil 1: habe ich soweit:

$$\frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x}{x^2-2x+1} \leq \frac{x}{x^2-2x} = \frac{1}{x-2}= -1/2*\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$

Das ist die geometr. Reihe. und mit dem Wurzelkriterium komme ich auf: -4 < x < 4:

Ist das soweit einigermaßen okay?

Teil 2 sagt mir aber leider gar nichts.

Answer 1

$$k(x)= x\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1{1-x}.$$Leite die geometrische Reihe ab und multipliziere mit x.

Comments

dann kommt das:

$$\frac{x}{(1-x)^2}$$

soll ich also x* 1. ablt. + x* 2. abl? und das ist dann die gesuchte potenzreihe?

mfg

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Nein. Leite die geometrische Reihe \(\dfrac1{1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\) ab und erhalte$$\frac1{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}.$$Multipliziere nun mit \(x\):$$\frac x{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^k.$$Das ist die gesuchte Reihe für \(k(x)\).

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achso ok, das macht sinn...

1/(1-x) = \( \sum_{k=1}^\infty x^k \)

und \( \frac 1{(1-x)^2}\) ist die Ableitung von 1/(1-x)

also leiten wir einfach die potenzreihe auch ab und dann müsste das passen... und da man hier noch mit x multipliziert hat tun wir noch die Reihe mit x multiplizieren...

ich wusste aber nicht, dass die Operationen mit, die man hier mit der Funktion macht so ohne weiteres auf die Reihe die ja aufsummiert wird einfach übertragen kann... das hat mir gefehlt.

wir können als untere grenze ja auch 0 nehmen oder, ändert ja nix?

vielen dank, ich rechne das gleich aus :)

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hat doch etwas länger gedauert.

teil 2 verstehe ich nicht hin.

mit dem Wurzelkriterium kommt für die konvergenz raus, dass |x| <1 sein muss damit die Reihe konvergiert...

was ist aber mit "größstmögliche Interval auf den die Reihe darstellt" gemeint?

mfg

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Gute Frage! Da der Konvergenzradius gleich 1 und die Entwicklungsstelle gleich 0 ist, müsste vermutlich das Intervall (-1,1) gemeint sein.

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habe ich mir auch gedacht... aber was meinen die wohl mit "größtmöglich"... es gibt doch nur einen und das ist genau definiert. wie du sagtest -1 bis 1...

mfg

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Sehe ich ähnlich. Wüsste auch nicht was sonst gemeint sein könnte.