Sei (xn)n∈ℕ eine Folge in M1 die bezüglich d1 gegen x ∈ M1 und gegen y ∈ M1 konvergiert. Zeigen Sie, dass x = y

Question

Seien (M₁, d₁) und (M₂, d₂) metrische Räume.

Sei (x_n)_n∈ℕ eine Folge in M₁ die bezüglich d₁ gegen x ∈ M₁ und gegen y ∈ M₁ konvergiert. Zeigen Sie, dass x = y.

Comments

Wozu braucht man bei dieser Aufgabe den metrischen Raum (M_2, d_2)?

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Für das, was man zeigen soll, ist der zweite metrische Raum nicht vonnöten. Man braucht, um das zu zeigen, ja nur eine Eigenschaft mit der man Punkte trennen kann. Da aber jede metrische Raum hausdorffsch ist, ist das ziemlich einfach zu zeigen.

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Dann rechne ich jetzt mit deiner Antwort ;)

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Done, hoffe, dass das so stimmt xD Ich war etwas vorlaut beim Formulieren, halte aber wieder an der Aussage fest.

Answer 1

Hallo,

sei \((x_n)_n\subset M_1\) eine Folge, die gegen \(x\in M_1\) konvergiert. Sei weiter  \(y\in M_1\backslash \{x\}\) ein Punkt mit \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=y\in M_1\). Wir müssen nun zeigen, dass daraus \(x=y\) folgt. Da \((M_1,d_1)\) ein metrischer und damit insbesondere ein Hausdorff-Raum ist, exisitieren \(U(x),U(y)\in M_1\) mit \(U(x)\cap U(y)=\emptyset\). In \(U(x)\) liegen ab einem bestimmten Index \(N\) alle Folgenglieder, daher können in \(U(y)\) höchstens endlich viele Folgenglieder liegen, \(y\) kann also kein Grenzwert der Folge sein. Die Eindeutigkeit des Grenzwerts rührt also daher, dass zwei disjunkte Umgebungen nicht beide fast alle Folgenglieder enthalten können.

Dafür braucht man, wie gesagt, eine Eigenschaft, die Punkte trennt. Das ist eben die Hausdorff-Eigenschaft.

Comments

Hm, du nutzt hier die allgemeine Aussage, dass in metrischen Räumen das Hausdorffsche Trennungsaxiom gilt. Damit nutzt du für den Beweis aber eigentlich das Ergebnis (in einer bestimmten Form), das es zu beweisen gilt.

Die Aufgabenstellung könnte man meiner Meinung nach nämlich auch so lesen: Zeigen Sie, dass im metrischen Raum (M, d) das Hausdorffsche Trennungsaxiom gilt.

Um dies zu beweisen, kannst du dich dann leider nicht auf das Hausdorffsche Trennungsaxiom, weil es in metrischen Räumen gilt, beziehen, da es dieses Axiom ist, das es ja erst zu beweisen gilt.

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Das mag sein. Ich habe aber mittlerweile einen viel einfacheren Beweis gesehen, der einfach auf die Eigenschaft von \(d_1\) zurückgreift:

Seien \( x, y \in X \) Grenzwerte von \( (x_n)_n\subset X \). Dann gilt \(d(x, y) \leq \) \( d\left(x, x_{n}\right)+d\left(x_{n}, y\right) \rightarrow 0 . \) Damit folgt \( d(x, y)=0 \) und somit \( x=y \).

Sehr raffiniert, daran habe ich gar nicht gedacht.

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PS: Mein Beweis geht, wenn man folgendes Lemma vorher beweist:

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Ich hoffe, du erkennst jetzt, dass es diese Dreiecksungleichung ist, die die Gültigkeit des Hausdorff-Axioms bewirkt.

Maßgeblich für den Beweis der oben genannten Aufgabe ist also nicht die Hausdorff-Eigenschaft, die man ja erst in der Aufgabe beweisen soll, sondern die Axiomatik der Metrik, insbesondere die Dreiecksungleichung.

Du musst verstehen, dass der Beweis der Aufgabenstellung äquivalent zum Beweis der Hausdorff-Eigenschaft ist, man letztere also nicht für den Beweis der Aufgabenstellung verwenden kann.