hilfe primzahl induktion

Question

) Beweisen Sie folgende Variante des Prinzips der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei eine Aussage A(n) gegeben, sodass gilt:


b) Zeigen Sie, dass sich jede natürliche Zahl n ≥ 2 als Produkt von Prim- zahlen schreiben lässt.

bitte vollständigen lsweg angeben

Answer 1

Dazu brauchst du folgenden

Satz. Sind a, b, c ∈ ℕ mit a·b = c und a≠c, dann ist a<c.

Daraus folgt als

Korollar. Ist a ein nicht-trivialer Teiler von b, dann ist a < b.

Zeigen Sie, dass sich jede natürliche Zahl n ≥ 2 als Produkt von Primzahlen schreiben lässt.

IA: 2 ist eine Primzahl. Also ist 2 ein Produkt von Primzahlen (bestehend aus einem einzigen Faktor).

IV: Angenommen jede Zahl m < n lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.

IS: n ist entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl.

Fall 1. n ist Primzahl. Dann ist m ein Produkt von Primzahlen (bestehend aus einem einzigen Faktor).

Fall 2. n ist eine zusammengesetzte Zahl. Seien dann a, b ∈ ℕ nicht-triviale Teiler von n mit a·b = n. Laut Definition von zusammengesetzte Zahl existieren solche a und b. Laut Korollar ist a < n und b < n. Laut IV lassen sich a und b als Produkte

        a = ∏_i=1..ka p_i

        b = ∏_i=1..kb q_i

von Primzahlen p_i (i∈{1..k_a}) bzw. q_i (i∈{1..k_b}) schreiben.

Dann ist

        n = ∏_i=1..ka p_i · ∏_i=1..kb q_i

ein Produkt von Primzahlen.

Answer 2

http://mathedia.com/analysis/vollstaendige-induktion/jede-natuerliche-zahl-n-2-laesst-sich-als-produkt-von-primzahlen-darstellen/