Gruppen Lineare Algebra

Question

Setze G := {(a, b) | a, b ∈ R, a 6= 0}. Zeigen Sie, dass durch
(a, b) ◦ (c, d) := (ac, ad + bc−1
) für alle (a, b),(c, d) ∈ G
auf G eine Verknüpfung deniert ist, bezüglich der G eine Gruppe und U := {(1, b) | b ∈ R}
eine Untergruppe von G ist.

Kann mir einer helfen, bin völlig am verzweifeln :(

Answer 1

G := {(a, b) | a, b ∈ R, a ≠ 0}.

 (a, b) ◦ (c, d) := (ac, ad + bc−1)

für alle (a, b),(c, d) ∈ G .

1. Abgeschlossenheit:

Für alle (a, b),(c, d) ∈ G  muss dazu

(ac, ad + bc−1)  wieder in G sein.

Da a≠0 und c≠0 ist auch ac ≠0. Und reelle

Zahlen sind die Ergebnisse von ac und

ad + bc−1 auch.

Assoziativ ?

Zeige für alle (a, b),(c, d),(e,f) ∈ G :

 (a, b) ◦ ( (c, d) • (e,f) )  = ( (a, b) ◦ (c, d) ) • (e,f)

indem du beide Seiten ausrechnest.

neutrales Element ?   Wenn (n,m) sowas ist, müsste gelten

 (a, b) ◦ (n, m)  = (a , b )    für alle (a,b) ∈ G.    etc.