Es sei \(G\) eine Gruppe der Ordnung vier und \(G=\lbrace e,a,b,c\rbrace\), wobei \(e\) das neutrale Element in \(G\) ist.
Wenn die Gruppe zyklisch ist, dann gibt es ein \(g\in G\) mit \(G=\lbrace e,g,g^2,g^3\rbrace\). Die Verknüpfungstafel sieht dann so aus:
\(\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&g&g^2&g^3\\\hline e&e&g&g^2&g^3\\g&g&g^2&g^3&e\\g^2&g^2&g^3&e&g\\g^3&g^3&e&g&g^2\end{array}\)
Diese Gruppe ist isomorph zu \(\left(\mathbb Z/5\mathbb Z\right)^*\), der multiplikativen Einheitengruppe des Restklassenrings \(\mathbb Z/5\mathbb Z\).
Wenn die Gruppe nicht zyklisch ist, dann gibt es kein Element der Ordung vier. Da es auch kein Element der Ordnung drei geben kann, muss \(g\cdot g=e\) für alle \(g\in G\) gelten. Die Verknüpfungstafel sieht dann etwa so aus:
\(\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&&\\b&b&&e&\\c&c&&&e\end{array}\)
Die restlichen noch freien Felder stehen dann auch fest:
\(\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}\)
Diese Gruppe ist isomorph zu \(\left(\mathbb Z/8\mathbb Z\right)^*\), der multiplikativen Einheitengruppe des Restklassenrings \(\mathbb Z/8\mathbb Z\) und ist auch als Kleinsche Vierergruppe bekannt.
Bis auf Isomorphie gibt es also genau zwei Gruppen der Ordnung vier; eine zyklische und eine nicht zyklische. Beide Gruppen sind offenbar abelsch.
