2^n > n + 1 mit vollständiger Induktion beweisen

Question

Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe.  2^n > n + 1            ( ∀n ∈ℕ n ≥ 2)

Ich habe leider keine Idee wie ich das Beweisen soll, weil das alles noch sehr neu für mich ist. Wie eine vollständige Induktion abläuft habe ich schon verstanden nur macht mir das > Probleme.

Comments

Meinst du 2ⁿ > n + 1 ?

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oh man ja natürlich 2^n tut mir leid

Answer 1

Hallo MatheJu,

die Herausforderung liegt vielleicht darin, dass die Aufgabe so einfach ist. Wenn \(2n \gt n+1\) mit \(n\ge2\) sein soll, dann ist das erfüllt, wenn \(n>1\) ist, also immer. Ich habe auf beiden Seiten nur \(n\) abgezogen. Aber machen wir es mal ganz formal. Es soll gelten $$2n \gt n +1 \quad \forall n \in \mathbb{N}, \space n \ge 2$$ Dazu setzt man für den Induktionsanfang \(n=2\) - d.h. das kleinst mögliche \(n\) - in die Ungleichung ein und überprüft, ob dies zutrifft: $$2 \cdot 2 \gt 2 +1 \\ 4 \gt 3$$ das ist richtig. Nun führt man den Induktionsschritt durch, D.h. man soll zeigen , dass die Ungleichung auch zutrifft, wenn man für \(n\) den Term \(n+1\) einsetzt. Dabei darf man die Voraussetzung dass \(2n \gt n+1\) ist benutzen. Ich setze einfach mal ein: $$2(n+1) \gt (n+1) + 1$$ jetzt noch etwas umformen $$\begin{aligned}2n + 2 &\gt n +2 \quad &&\left| -2\right.\\ 2n &\gt n && \left|n \lt n+1\right. \\ 2n &\gt n+1\end{aligned}$$ und letzteres ist lt. Induktionsvoraussetzung erfüllt, Also stimmt der Zusammenhang auch für \(2(n+1) \gt (n+1) + 1\) und damit für alle \(n \in \mathbb{N} \space n \ge2\).

Gruß Werner

Comments

tut mir leid ich meinte 2ⁿ > n + 1. Trotzdem danke

Aber müsste im Prinzip ja ähnlich sein.

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tut mir leid ich meinte \(2^n > n + 1\).

Ja- es ist genau das gleiche, der Induktionsschritt wird ein wenig aufwendiger. Setze \(n=2\) und prüfe $$2^2 \gt 2 +1 \quad \implies 4 \gt 3$$ das stimmt. Nun den Induktionsschritt

$$\begin{aligned} 2^{n+1} &\gt (n+1)  +1 \\ 2 \cdot 2^n &\gt n +2 && \left| 2^n \gt n+1 \right. \\ 2(n+1) &\gt n+ 2 \\ 2n +2 &\gt n +2 && \left| -(n+2)\right. \\ n &\gt 0\end{aligned}$$ und das ist richtig, da \(n \ge2\) ist. Folglich gilt dies für alle \(n\ge2\).

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Vielen dank ich hatte es schon fast alleine geschafft. Nur der Teil hat mir noch gefehlt.

2n + 2 > n +2              | -(n + 2)

n > 0

Answer 2

Subtrahiere n auf beiden Seiten.

2n > n + 1 mit vollständiger Induktion beweisen

IA: Setze n = 2 ein.

IV: Sei n ∈ ℕ, so dass 2n > n + 1.

IS: Es ist 2(n+1) > (n+1)  + 1 ⇔ 2(n+1) - (n+1) > (n+1)  + 1 - (n+1) ⇔ n+1 > 1 ⇔ n > 0.

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tut mir leid ich meinte 2ⁿ > n + 1. Trotzdem danke

Answer 3

Induktionsanfang:

n=2:

2^2>1+1 ✓

Induktionsvoraussetzung:

2^n>n+1

Induktionsschritt:

2^{n+1}=2*2^n>2*(n+1)=2n+2>n+2=(n+1)+1 ✓