Abstand von Punkt und Ebene bestimmen ohne Hesseform, Normalenvektor etc.

Question

Gegeben sind Punkt P(79/8/56) und die eine Ebene aus den Punkten A(3/-3/6), B(6/-2/-3) und C(-2/4/1). Davon soll der Abstand bestimmt werden. Wir hatten allerdings weder die Koordinatenform, noch die Hesseform etc. Also irgendwie muss da ja mit einem Lotpunkt gearbeitet werden... Ich bekomme aber nichts sinnvolles raus. Wäre schön wenn jemand helfen könnte.

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Denkbar wäre ein analytischer Weg, nämlich das Minimieren der Abstandsfunktion. Das wollen wir aber vielleicht nicht, dann könnten wir einen Normalenvektor der Ebene ABC bestimmen, damit die Lotgerade durch P basteln und diese mit der Ebene ABC schneiden. Dann hätten wir den Lotfußpunkt und könnten seinen Abstand zu P ermitteln.

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Also ich bin mir auch nicht sicher wie das gemacht werden soll, ich habe den Weg aus diesem Video https://www.youtube.com/watch?v=SkbeLBo1Cyc versucht (also Verbindungsvektor und dann Lotpunkt bestimmen), bekomme aber 160,... raus was wohl falsch sein wird.

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Na ja, ich zitiere das Schlusswort des 8-Minuten-Videos: "Viel Glück, bis dann!"

Ok, etwas ernsthafter: Es wird etwas weniger aufwändiger sein, aber immer noch dem Gedankengang des Videos folgend, wenn du einen Normalenvektor beispielsweise mit dem Gleichungssystem $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\quad\land\quad\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$$bestimmst und dann die Lotgerade mit der Ebene schneidest.

Answer 1

Überlegung mit Lotfußpunkt ist doch ganz OK.

Das Lot von P auf E geht jedenfalls durch P und hat als Richtungsvektor

einen Vektor, der auf AB und AC senkrecht steht.  Das wäre z.B.    v =

29
30
13

Dann schneide die Lotgerade  g:

         79                    29
x =      8       +   t *     30
          56                   13

und erhalte t=-1592/955  .

So bekomme ich den Abstand von ungefähr  0,038  ???

Stimmen da vielleicht ein paar Zahlen nicht ?

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Wenn ich hier https://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm die Ebene und den Punkt eingebe, erhalte ich einen Abstand von ca. 72. Die Zahlen müssten auch korrekt sein.