Man zeige, dass für (rationale) Zahlen x ungleich 1 gilt:

Question

Man zeige, dass für (rationale) Zahlen x ≠ 1 gilt:

$$ \prod _ { j = 0 } ^ { n } \left( 1 + x ^ { 2 ^ { j } } \right) = \frac { x ^ { 2 ^ { n + 1 } } - 1 } { x - 1 } $$

Muss man bei der Aufgabe nicht einfach nur für x 1 einsetzen, damit da .../0 steht und ein Widerspruch entsteht?

Comments

Nein,weil oben x≠1 steht.

( Die Formel gilt zwar auch für x=1, aber das ist eine andere Geschichte.)

Answer 1

Genau deshalb ist ja in der Aufgabenstellung der Fall x=1 ausdrücklich ausgeschlossen.
Du müsstest schon einen Induktionsbeweis machen.

Hintergrund ist die fortgesetzte Anwendung der 3. binomischen Formel, so ist z.B.
$$\frac{x^{16}-1}{x-1}=\frac{(x^{8}-1)(x^{8}+1)}{x-1}=\frac{(x^{4}-1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)}{x-1}=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)}{x-1}=(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)$$