Beweise, dass für Rationale Zahlen gilt...

Question

Aufgabe:

Sei d ≥ 0 eine Ganze Zahl. Es existieren rationale Zahlen c₀, c₁, . . . , c_d ∈ ℚ
mit der Eigenschaft, dass

$$\sum \limits_{k=1}^{n}k^d = \frac{n^{d+1}}{d+1} +c_dn^d +c_{d-1}n^{d−1} +...+c_0$$

für alle n≥1

Wie beweis ich diese Behauptung am besten? Nehme an mit Induktion. Ich weiß nicht was ich mit den Koeffizienten anfangen soll…

Answer 1

Der Sinn des Satzes ist klar?

mit d= 1 ergibt sich Vadder Gauss:

1+2+3+...+n = 1/2 * n² + ...                     genauer: 1/2 * n(n+1)

1² +2² +3²+ ... n² = 1/3 * n³ + ....          genauer: 1/3 n(n+1)(n + 1/2)

Schreibe den Satz so um, dass er simpel aussieht:

Satz: 1^d+2^d+3^d+...n^d = 1/(d+1) * n^d+1 + p(n^d), wobei p(n^d) als Abkürzung steht für:

                                                         "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d"

Bew:

Ind.Ver: n=1

1^d = 1/(d+1) * 1^d+1 + d/(d+1) * 1^d  + 0 

1   =(d+1)/(d+1)           stimmt!  (c_d=d/(d+1), alle restl. c_i=0; andere Lös. gehen auch)

Ind. Schritt:

Es gelte für ein gewisses n∈ℕ: 1^d+2^d+3^d+...n^d = 1/(d+1) * n^d+1 + p(n^d)

Dann gilt:

1^d+2^d+3^d+...n^d + (n+1)^d

          = 1/(d+1) * n^d+1 + p(n^d) + (n+1)^d 

          = 1/(d+1) * n^d+1                                           + p(n^d) + \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)

          = 1/(d+1) * (n+1)^d+1 -1/(d+1)  \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)  + p(n^d) + \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)

           = 1/(d+1) * (n+1)^d+1 + p^~(n^d)    

           = 1/(d+1) * (n+1)^d+1 + p≈((n+1)^d)                     q.e.d.

Comments

Vielen Dank

Hat schon viel geholfen. Ich verstehe aber nicht wie du von

$$ \frac{1}{d+1}n^{d+1}+p(n^{d})+\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}$$

auf

$$\frac{1}{d+1}(n+1)^{d+1}-\frac{1}{d+1}\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}+p(n^{d})+\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}$$

gekommen bist. Und sind die beiden Restpolinome p^~(n^d)  und p≈((n+1)^d) identisch?

---

ah erste Frage hat sich geklärt. Ist nur noch bei den Restpolinomen unklar.

---

(n+1)^d+1  =  \( \sum\limits_{k=0}^{d+1}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \) = n^d+1 +  \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)

p^~(n^d)  und p^≈((n+1)^d)  soll nur heißen:

Ein "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d mit der Var. n" kann auch also "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d mit der Var. n+1" aufgefasst werden, so dass die Form der Ind.ann. mit (n+1) entspricht. Wichtig ist nur: Vorne in der Summe steht das Glied vom Grad d+1, hinten nur die mit geringerem Grad.

Answer 2

Sei

\(c_i = \begin{cases} \sum_{k=1}^n k^d-\frac{n^{d+1}}{d+1}&\text{ falls } i=0\\0 &\text{ falls } i\neq 0 \end{cases} \).

Dann ist

\(\sum \limits_{k=1}^{n}k^d = \frac{n^{d+1}}{d+1} +c_dn^d +c_{d-1}n^{d−1} +...+c_0\).

Außerdem ist \(c_i \in \mathbb{Q}\) für \(i \neq 0\) weil \(0\in\mathbb{Q}\) ist.

Begründe, dass auch \(c_0 \in \mathbb{Q}\) ist.