Vollständige Induktion: Jede Pflanze hat im folgenden Jahr q Nachkommen und überlebt selbst nicht.

Question

Ich muss folgende Sachaufgabe lösen:

Wir betrachten eine Population einjähriger Pflanzen. Die Entwicklung der Anzahl

der Pflanzen sei dadurch charakterisiert, dass jede Pflanze im darauf folgenden
Jahr q Nachkommen hat und selbst nicht  überlebt (Einjährigkeit). Sei$$ a_{0}$$ die
Anzahl der Pflanzen zu Beginn der Beobachtung. Bestimmen Sie für jedes $$n \in \mathbb{N}^* $$
die Anzahl an der Pflanzen nach n Jahren und beweisen Sie das Resultat durch
vollständige Induktion.

Ich habe bisher folgendes überlegt:

$$f(x^{n})=x^{n+1}-x^{n}$$

x^{n+1}  soll die gesamte Population beschreiben vor dem Absterben der einjähriger Pflanzen.

-x^{n} soll die Planzen beschreiben die am ende des Jahres sterben

Die abbildung f soll also die Population der Planzen - den verstorbenen für jedes Jahr beschreiben.

Ich habe hier meinen Beweis für die Vollständige Induktion:

$$f(x^{n})=x^{n+1}-x^{n} \\ \text{ Induktionsanfang: } \\ n=1 \land x=0 \\ f(0^{1})=0^{1+1}-0^{1} \Longleftrightarrow f(0)=0 ✓ \\\text{Induktionsvoraussetzung:} \\f(x^{n})=x^{n+1}-x^{n} |(\forall x \in \mathbb{N} \land n \in \mathbb{N}^{*}) \\\text{Induktionsbehauptung:} \\n=n+1 \\f(x^{n+1})=x^{(n+1)+1}-x^{n+1} \\\text{Induktionsschritt:} \\ f(x^{n+1})=x^{(n+1)+1}-x^{n+1} \\f(x*x^{n})=x*x^{n+1}-x*x^{n} \\f(x*x^{n})=x(x^{n+1}-x^{n}) ✓ \\\text{n+1 ist bewiesen laut der Induktionsvorassetzung }■$$

Wie vollständige Induktion funktioniert, ist mir einigermaßen bekannt. Ich bin mir  nicht sicher, dass ich meine Induktionsbehauptung richtung gebastelt habe  bzw. ob ich den richtigen Term erstellt habe und ob beim Induktionsanfang in diesem Fall angeben muss und folglich der Rest der Induktion richtig ist.

Sollte dies nicht der Fall sein bitte ich um einen korrekten Term, bzw.  ein korrekte vollständige Induktion.

Wie immer sind korrekturen zu meiner Beweisführung/schrift/text/notation herzlich wilkommen.

Answer 1

du bleibst ja absolut im Dunst des Unkonkreten.

Im ersten Jahr gibt es a₀ Pflanzen. Da jede dieser Pflanzen q Nachkommen erzeugt (aber selbst abstirbt), gibt es im nächsten Jahr a₀*q Pflanzen.

Diese a₀*q Pflanzen erzeugen jeweils q Nachkommen, so dass es im nächsten Jahr (a₀*q)*q= a₀*q² Pflanzen gibt.

Dies  a₀*q² Pflanzen  erzeugen jeweils q Nachkommen, so dass es im nächsten Jahr (a₀*q²)*q= a₀*q³ Pflanzen gibt usw.

Comments

Jetzt bin noch mehr Verwirrt...

Also sollte die Funktion so aussehen?

$$A:=a_{0}*q^{n}$$

Ist das also meine gesuchte Funktion? Das sieht für mich wie eine konstante aus, während die von mir gezeigte Funktion exponentiell wächst (was auch logisch für populationswachstum ist), wobei jedes Jahr die Planzen die im Vorjahr erzeugt wurden absterben.

Soll ich hier etwa beweisen, dass egal wie viele Jahre vergehen, die konstante bleibt gleich?

Wie würde dann etwa der Induktionsanfang aussehen in diesem Fall?

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Wo siehst du hier eine Konstante? Die Größe A (besser A(n) geschrieben) ist doch abhängig von n, also von der Anzahl der Jahre (im Exponenten). Klassischer kann man eine Exponentialfunktion nicht darstellen...

Die "Induktion" besteht darin A(n) mit q zu multiplizieren, wenn man den Schritt von A(n) zu A(n+1) geht.

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also ist mein Induktionsanfang:

n=1

A(1)=1*q^1

1=1

Induktionsvoraussetzung:

A(n)=n*q^{n}

Induktionsbehauptung:

n=n+1

A(n+1)=(n+1)*q^{n+1}

???

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Der Induktionsanfang ist nicht 1=1, sondern a_0 = a_0.