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Im Labor wird die Menge der Sauerstoffproduktion einer Pflanze gemessen und für einen Zeitraum von 14 Stunden mit Hilfe einer Funktion 3. Grades modelliert.

Biologen haben folgende Beobachtung gemacht:

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die Produktionsmenge der Pflanzen 0 L. Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 L/h.

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L/h erreicht.

a) Stelle das Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktion auf.

b) Gib an, welche mathematischen Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn die maximale Produktionsmenge berechnet werden soll.

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Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die 

Produktionsmenge der Pflanzen 0L.

also f(0)=0

Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 1:h

also f ' (0) = 1     (Die Einheit "L pro h" kann man weglassen,
wenn man sagt: x sind Stunden  f(x) sind L )

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L:h erreicht.

f(7)= 42  und   f ' (7) = 42 wegen Maximum.

Gibt 4 rote Gleichungen. Passt also.

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Ich würde denke, dass die Produktionsrate die erste Ableitung ist. Dann wäre die Ableitung an der Stelle 7 gleich 42 und nicht die Produktionsfunktion an sich. Habe jetzt auch die vierte Info gefunden. Wenn die Produktionsrate maximal wird, dann müsste f''(7)=0 sein.

In der Diskussion oben sind wir auf

f ' (0) = 0 gekommen (meine ich) . 

Warum genau hast du f(7) = 42 ? 

f ' (7) = 42 und f '' (7) = 0 wäre mein Vorschlag. 

Oh ja. Ich hatte Produktion und Produktionsrate verwechselt.

Schließe mich dem Vorschlag  f ' (7) = 42 und f '' (7) = 0

an.

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Also müsste gelten:

f(0) = 0

f'(0) = 0

f'(7) = 42

f''(7) = 0

ax^3+bx^2+cx+d

f(0)=0=d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(0)=0=c

f'(7) = 3*49*a + 14b=42

f''(x) = 6ax + 2b

f''(7) = 42a + 2b = 0

2b=-42a

b = -21a  einsetzen in f'

147a + 14(-21a) = 42

-147a = 42

a = -14/49 = -2/7

b = -21*-2/7 = 6

Demnach wäre die Funktion f(x) = -2/7x^3 + 6x^2

Und die die erste Ableitung davon f'(x) = -6/7x^2 + 12 x

Also die erste und die zweite Bedingung sind erfüllt, mal schauen ob die dritte passt:

f'(7) = -6/7*49+12*7= 42 passt!

Die vierte Bedingung:

f''(x) = -12/7x + 12

f''(7) = -12/7*7+12 = 0 passt auch, also stimmt die Funktion

 f(x) = -2/7x^3 + 6x^2

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f ( t ) = a*t^3 + b*t^2 + c*t + d

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) beträgt die 

Produktionsmenge der Pflanzen 0L.
f ( 0 ) = 0  => d = 0

f ( t ) = a*t^3 + b*t^2 + c*t
f ´( t ) = 3 * a * t^2 + 2 * b * t + c
f ´´ ( t ) = 6 * a * t + 2 * b

Zu diesem Zeitpunkt liegt die Produktionsrate bei 0 L:h
f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( t ) = a*t^3 + b*t^2
f ´( t ) = 3 * a * t^2 + 2 * b * t
f ´´ ( t ) = 6 * a * t + 2 * b

Die höchste (maximale) Produktionsrate wird zum Zeitpunkt t=7 mit 42 L:h erreicht. 
Wendepunkt

f ´´( 7 ) = 6 * a * 7 + 2 * b = 0
f ´ ( 7 ) = 3 * a * 7^2 + 2 * b * 7 = 42

a) 

Stelle das Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktion auf
6 * a * 7 + 2 * b = 0
3 * a * 7^2 + 2 * b * 7 = 42

42 * a + 2 * b = 0 
147 * a + 14 * b = 42

42 * a + 2 * b = 0 | * 7
294 * a + 14 * b = 0
147 * a + 14 * b = 42  | abziehen
----------------------------
147 * a = -42
a = -2 / 7
b = 6

f ( x ) = -2/7 * x^3 + 6 * x^2

Steckbriefversion
f ( 0 ) = 0
f ' ( 0 ) = 0
f ' ( 7 ) = 42
f '' ( 7 ) = 0

b)

Gib an welche mathematischen Bedingungen erfüllt sein müssen,
wenn die maximale Produktionsmenge berechnet werden soll.
 

f ´ ( t )  = 0
dann mit t
f ( t ) berechnen.

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