Partielle Ableitung von 3/2x_1*x_2-x_1^2

Question

Gegeben sei folgende Gewinnfunktion von zwei unternehmen : G(x₁,x₂): 3/2x₁ * x₂ - x_i² 

^Jetzt möchte ich die Kombination von x1 und x2 rausfinden, bei der der Gewinn der Unternehmen maximiert ist. Also muss ich doch die partielle Ableitung nach x1 und x2 bilden und diese gleich 0 setzen.

Als Ableitung nach x1 komme ich auf 3/2*x2 - 2x1

Wie geht es nun weiter? Wenn ich das dann nach x1 auslöse komme ich auf 0.75x2

Ich bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist bzw.  was der nächste Schritt ist.

Answer 1

f(x, y) = 3/2·x·y - x^2

f'(x, y) = [1.5·y - 2·x, 1.5·x] = [0, 0]

Macht das aber Sinn ?

Für y --> unendlich und x ≠ 0 strebt der Gewinn doch gegen unendlich oder nicht?

Comments

Hi,

ich hatte die Frage gestern gestellt, konnte mich aber aus irgendwelchen Gründen mit dem Handy nicht einloggen.

Ich glaube ich habe das etwas missverständlich formuliert. Es geht darum, dass zwei Unternehmen i ein gemeinsames Projekt betreiben, in dass sie jeweils x_i investieren können, wobei jedes Unternehmen maximal 1 investieren kann. Die Investition kostet ein Unternehmen x_i² und der Nutzen ist für beide gleich und beträgt  f(x₁,x₂)=3/2⋅x₁x₂

Die Gewinnfunktion für beide ist also G(x₁,x₂) = 3/2x₁⋅x₂−x_i²

bzw. G(x₁) = 3/2x₁x₂−x₁² und G(x₂) = 3/2x₁⋅x₂−x₂² 

Nun möchte natürlich jedes Unternehmen die Gewinnfunktion in Abhängigkeit des anderen Unternehmens maximieren. Um den Beitrag der Unternehmen zu ermitteln der für beide optimal ist (x₁* und x₂*) muss ich die Gewinnfunktion doch partiell nach x₁ und x₂ ableiten und gleich null setzen.

G'(x₁) = 3/2x₂ - 2x₁ = 0

G'(x₂) = 3/2x₁−2x₂ = 0

Hier komme ich nun nicht weiter. Wenn ich die erste Ableitung nach x₁ umstelle, erhalte ich x₁ = 0,75x₂

Für die Ableitung nach x₂ erhalte ich x₂ = 0,75x₁

Das macht doch überhaupt keinen Sinn oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

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Man sieht doch bereits an der Funktion, dass y maximal werden muss. D.h. y = 1

Nun hast du doch nur noch eine Unbekannte für die du das optimieren musst.

Hier eine Vergleichslösung auf die du sehr leicht kommen solltest

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+3%2F2%C2%B7x%C2%B7y+-+x%5E2+with+0%3C%3Dx%3C%3D1,+0%3C%3Dy%3C%3D1

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Entschuldige wenn ich mich blöd anstelle aber woran erkenne ich an der Gewinnfunktion, dass x_2 bzw. maximiert werden und ich das =1 setzen muss?

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Du hast die Funktion

f(x, y) = 3/2·x·y - x^2

Nimm mal irgendeinen Wert für x im Bereich 0 < x <= 1 und setzt dann verschiedene Werte für y ein. Was stellst du fest und warum ist das aus dem Funktionsterm bereits ersichtlich?

3/2·x·y ist für ein festes aber beliebiges x aus dem obigen Intervall für y streng monoton wachsend. Weil x^2 konstant ist trifft das natürlich auch für 3/2·x·y - x^2 zu.

Also muss y schon mal maximal sein. Das ist bei y = 1 der Fall.

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Danke für deine Antwort.

Wäre der Ansatz mit den Ableitungen den ich gewählt habe denn falsch gewesen oder wieso bin ich damit nicht weiter gekommen?

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Der Ansatz mit der Ableitung gilt für lokate Extrempunkte und nicht für Randextrema unter Nebenbedingungen.

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Vielen Dank für deine Hilfe!