Beweis von Ungleichungen mit Quadratwurzeln

Question

$$zz: \space \sqrt[n]{x+y} \le \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}$$

Wie gehe ich denn am besten an den Beweis ran? Zeige ich das ganze für 1 und beweise dann per Induktion?

$$A(1): \space \sqrt[1]{x+y} \le \sqrt[1]{x} + \sqrt[1]{y}$$

$$\iff x+y \le x + y$$

Ist offensichtlich richtig.

Angenommen A(n) gilt, so muss auch A(n+1) gelten.

$$A(n): \space \sqrt[n]{x+y} \le \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}$$

$$A(n+1): \space \sqrt[n+1]{x+y} \le \sqrt[n+1]{x} + \sqrt[n+1]{y}$$

Beweis per Induktion:

$$\sqrt[n+1]{x+y} = \sqrt{\sqrt[n]{x+y}} \le \sqrt{\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}}$$

So das ganze muesste ich jetzt zur rechten Seite von A(n+1) umformen, sehe dafuer aber keinen Weg.

Comments

Die Quadratwurzel aus der n-ten Wurzel ist nicht die n+1-te Wurzel.

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Ach so es gilt $$\sqrt[q]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[pq]{a}$$

Ich dachte es waere p+q

Answer 1

Potenziere beide Seiten der zu beweisenden Ungleichung mit n. Dann erhähltst du links x+y und rechts einen Term mit n+1 Summanden,von denen einer x und einer y heißt.

Comments

Achso dann erhalte ich ja $$x+y \le x+ ... + y$$

Wobei ... für einen Term > 0 steht.

Da habe ich wohl echt zu kompliziert gedacht.