Maxima von f(x,y,z) = x y^2 z^3 unter der Nebenbedingung x+2y+3z=6 ?

Question

Ich soll die Maxima der Funktion f(x,y,z)=xy²z³ ,x,y,z>0 unter der Nebenbedigung x+2y+3z=6 bestimmen.

Es ist F(x,y,z,λ)=xy²z³ +λ( x+2y+3z-6)

Dann ist

Fx=y²z³+λ=0

Fy=2xyz³+2λ=0

Fz=3xy²z²+3λ=0

Fλ=x+2y+3z-6=0

Auflösen nach λ und gleichsetzen ergibt

-y²z³=-xyz³             und          -xyz³=-xy²z²

yz³(-y+x)=0                                xyz²(-z+y)=0

Da x,y,z>0 folgt x=y und y=z also insgesamt x=y=z.

Setzt man das in Fλ ein erhält man x=y=z=1 und λ=-1. Stimmt das so?

Answer 1

Na, das sieht doch sehr gut aus.

Comments

Danke.

Und wie prüfe ich jetzt dass tatsächlich ein Maximum vorliegt? Oder muss ich das gar nicht mehr machen?

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Hat mich auch schon gewundert.

Wenn natüprlich bekannt ist, dass es nur ein Extremum gibt

und dieses ein Maximum ist, und du

findest nur einen Kandidaten, ist ja Schluss.

Ansonsten mit der Hesse-Matrix:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geränderte_Hesse-Matrix