Führen Sie eine Taylor-Reihenentwicklung von ln(x) um den Entwicklungspunkt x0= a > 0 durch und bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylor-Reihe in Abhängigkeit von a.
Mein Vorschlag:
Ich habe erst einmal alle Ableitungen gebildet.
f(x)=ln x
f'(x)= 1/x
f''(x)= -1/x^2
f'''(x)=2/x^3
fIV (x)= - 6/x^4
und den Entwicklungpunkt a eingesetzt, also das x wird in den obigen Ableitungen durch a ersetzt.
Folglich komme ich auf das Taylorpolynom:
T(x)= ln(a)/(0!) (x-a)^0 + 1/a/(1!) (x-a) - 1/a^2/(2!) (x-a)^2 + 2/a^3/(3!) (x-a)^3 - 6/a^4/(4!) * (x-a)^4
stimmt es denn so? man sieht, dass die Vorzeichen alternieren, könnte man deshalb schreiben aufsummiert von k=0 bis unendlich für (-lnx)^k/k! ?
Würde mich über eine schnelle Antwort freuen ;)