Erst wird das Integral halbiert, dadurch wird alles im Nenner halbiert, richtig?
Stimmt nicht ganz: Wenn man bei einem Bruch den Nenner halbiert,
verdoppelt sich sein Wert. Um das wieder auszugleichen wird der
Faktor 1/2 vor das Integral gestellt; deshalb ist auch beides gleich.
Jetzt hat man ja im Nenner X^2 / 2 + 1 , man braucht aber
etwas von der Form z^2 + 1 um die Sache auf den
arctan zurückführen zu können, deshalb wird aus x^2 /2
dann (x /√2 ) ^2 gemacht. Gleichzeitig soll im Zähler auch
1/√2 entstehen (Damit das nachher mit der Substitutionsregel passt.)
Deshalb wird aus dem Faktor 1/2 vor dem Integral das Produkt
(1/√2) * ( 1/√2 ) gemacht. Der eine Faktor bleibt vor dem Integral stehen
und der andere kommt nach innen auf den Zähler des Bruches.
Jetzt ist die Sache soweit gediehen, dass man die Substitution
(steht über dem =-Zeichen) machen kann. Dabei wird bei der oberen
Grenze aus √12 eben √6.
Wenn du das üben willst, versuche doch mal das Integral über
1 / (x^2 + 3 ) von 0 bis √12 zu berechnen und kontrolliere mit einem
Integralrechner aus dem Internet.
