Komplexe Zahlen: Umkehrung am Einheitskreis u: ℂ' -> ℂ', u(z) = 1/z , wobei ℂ' = ℂ ∪ { ∞ }.

Question

Ich muss Folgendes geometrische darstellen:

Sei u: ℂ' -> ℂ', u(z) = 1/z, die Umkehrung am Einheitskreis. (Das ℂ hat einen Strich drüber, daher hier mit ' versehen). ℂ' = ℂ ∪ { ∞ }.

Bestimmen und skizzieren Sie die Bilder von:

G1: { z ∈ ℂ | |z+1| = 1}

G2: { z ∈ ℂ | ℜ(i*z) = 1 } ∪ { ∞ }

Kann mir hierbei jemand helfen? Wie macht man das?

Answer 1

G1: { z ∈ ℂ | |z+1| = 1}           

G2: { z ∈ ℂ | ℜ(i*z) = 1 } ∪ { ∞ }



Kann mir hierbei jemand helfen? Wie macht man das?

Wähle je 3 Elemente von G1 und G2 und berechne ihre Bildpunkte. Da G1 und G2 Kreise oder Geraden sind, sind ihre Bilder auch wieder Kreise oder Geraden. Sobald du drei Punkte auf der Bildmenge hast, kannst du die Gleichung des Kreises oder der Geraden bestimmen.

Ausgangslage bei G1: Kreis mit Mittelpunkt z=-1 und Radius r=1.

~plot~ sqrt(1-x^2);-sqrt(1-x^2);sqrt(1-(x+1)^2);-sqrt(1-(x+1)^2) ~plot~

Nun bleiben die beiden Punkte auf dem Einheitskreis fest (werden aufeinander abgebildet). Der Punkt z=0 wird auf unendlich abgebildet. D.h. es resultiert die Gerade, die durch die Schnittpunkte der beiden Kreise geht.

~plot~ sqrt(1-x^2);-sqrt(1-x^2);sqrt(1-(x+1)^2);-sqrt(1-(x+1)^2);x=-1/2 ~plot~

Allgemeinere Transformationen vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Möbiustransformation

Answer 2

|z+1|=1

es ist z=1/w

also

|1/w +1|=1

|1+w|/|w|=1

|1+w|=|w|

(1+x)^2+y^2=x^2+y^2

1+2x=0

x=-1/2

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldungen! 

Handelt es sich bei G2 um einen Kreis durch den Ursprung mit Zentrum in 1/2?