Aufgabe:
Für die Minimal Residual Iteration gilt:
$$r = b - A x \text { und } p = A r$$
\begin{array} { l } { \alpha \leftarrow ( p , r ) / ( p , p ) } \\ { x \leftarrow x + \alpha r } \\ { r \leftarrow r - \alpha p } \\ { p : = A r } \end{array}
Sei A pos. definitit und reale Matrix.
$$\mu = \lambda _ { \min } \left( A + A ^ { T } \right) / 2 , \quad \sigma = \| A \| _ { 2 }$$
Dann gilt:
$$\left\| r _ { k + 1 } \right\| _ { 2 } \leq \left( 1 - \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 }$$
Problem/Ansatz:
Im Beweis ist uns folgender Schritt nicht ganz klar:
\begin{aligned} & = \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) } { \left( r _ { k } , r _ { k } \right) } \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) } { \left( A r _ { k } , A r _ { k } \right) } \right) \\ & = \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) ^ { 2 } } { \left( r _ { k } , r _ { k } \right) ^ { 2 } } \frac { \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { \left\| A r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \end{aligned}
Wieso wird aus dem Skalarprodukt mit A eine 2-Norm?
