Beweis P(v)=v - Projektion gefragt

Question

Aufgabe:

$$Sei \; W\; ein\; Unterraum\; eines\; Euklidischen\; Raumes\; V und\; sei\; P:\;V \rightarrow W\; \\die\; Projektion\; auf\; W.\; \\Zeigen\; Sie\; für\; alle\; v\in W\; gilt\; P(v)=v.$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wirklich wie ich das angehen soll, meine erste Idee wäre es über den Pythagoras zu zeigen, bin mir da aber extrem unsicher. Vielen Dank für die Hilfe!

Comments

Hallo

bitte schreib nicht nur eine halbe Zeile der Aufgabe und eine andere halbe in der Überschrift , sondern die genaue Aufgabe.

lul

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Ist bei euch eine Projektion durch \(P\circ P=P\) charakterisiert?

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find ich im Skript nichts zu $$ P\circ P=P\ $$ wir haben lediglich eine Definition besprochen das man von einer Projektion spricht wenn $$ \bar{x} \in W\text{ und } x-\bar{x} \in W^{\perp} $$ gilt

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@lul versteh deinen Kommentar leider nicht, ich hab die ganze Angabe hinein gegeben und sie wird mir auch angezeigt....

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Hallo mp_studentin,

dein Text war nicht lesbar; denn man hätte dafür einen
Bildschirm mit 2 Meter Breite haben müssen. Daaher habe ich deinen
LaTeX-Text überarbeitet.

Das von dir benutzte \quad ist ein sehr breiter Abstand. Ich habe es durch
den kleineren Abstand \; ersetzt. Ferner habe ich Zeilenumbrüche \\
eingefügt.

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Achso vielen Dank,  dann weiß ich das fürs nächste Mal ☺️

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Achso vielen Dank, dann weiß ich das fürs nächste Mal

Normalen Text bitte nicht in die Formel Umgebung einfügen. Dafür ist sie nicht da.

Nutze stattdessen inline Formeln zB

\ (   x^2 + 4 \ )

[Ohne Leerzeichen zwischen \ und ( bzw )]

Oder den abgesetzten Modus

$ $ ... $ $

[auch hier ohne Leerzeichen zwischen den $]

Answer 1

Hallo,

Wenn also \(v \in W\) und sowieso \(Pv \in W\); dann ist auch \(Pv-v \in W\).

Nach der Definition der orthogonalen Projektion (wie Du geschrieben hast), ist \(Pv-v \perp W\), also insbesondere \(Pv-v \perp Pv-v\). Also gilt:

$$0=\langle Pv-v,Pv-v\rangle=\|Pv-v\|^2  \Rightarrow Pv=v$$

Gruß Mathhilf

Comments

super, vielen dank für deine Hilfe ^^