Inversion einer komplexen Zahl - Ortskurve

Question

Aufgabe:

ich soll die Inversion einer komplexen Zahl bestimmen und dazu noch die Ortskurve mit 
z=2+iy und w=1/z

Ansatz:

Also,

w=1/z

= 1/(2+iy)*(2-iy)/(2-iy)

= (2-iy)/(4+y²)

Nun teile ich es jeweils in den Imaginär- und Realteil auf:

Re(w)= 2/(4+y²) und

Im(w) = -y/(4+y²)

Eigentlich kein Problem nun die Inversion zu bestimmen bzw. eine Ortskurve zu zeichnen, aber die Unbekannte (y) ist mir im Weg und ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Einige überlegungen die ich mir noch gemacht habe:

Re(w) = 0,5         Im(w) = 0
y->0                     y->0

Re(w) = 0            Im(w) = 0
y-> unendlich       y-> unendlich

Aber ich bin mir nicht mal sicher ob ich das überhaupt so aufteilen soll.

Ich bin über jeden Denkanstoß sehr dankbar.

Answer 1

Hallo

 Im(w)=v, Re(w)=u, dann hast du (4+y^2)=2/u oder y^2=2/u-4

eingesetzt in v ergibt dir den Zusammenhang zwischen u und v. (eine Kreis durch 0 (nicht um 0))

der andere Weg, die Ortskurve zu bestimmen ist das Wissen, dass die Abbildung f(z)=1/z Geraden und Kreise in Geraden und Kreise abbildet, deshalb brauchst du nur das Bild von 3 Punkten, y=oo geht nach 0, y=0 nach 1/2, y=1 nach .... und dann den Kreis durch die 3 Punkte, hier reichen auch die ersten 2, da symmetrisch zur x-Achse.

Gruß lul