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Ich habe am Ende dieser Aufgabe ein Problem, bei dem ich Hilfe benötige:
Aufgabe:
Für welche Parameter t ∈ R werden die beiden Vektoren a = (1, −2) und bt = (t^2, 3t − 1) in der Anschauungsebene V = R^2
linear abhängig? Betrachten Sie dabei zunächst die Spezialfälle t = 0 und t = 1.
Problem/Ansatz:
Für die beiden Spezialfälle ist es ja ganz einfach:
Zwei Vektoren a und b sind dann L.A., wenn einer ein vielfaches des anderen ist:
a = λ * b mit λ ∈ ℝ
Für t = 0:
\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\ \end{pmatrix} \) = λ * \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\ \end{pmatrix} \)
1 = λ * 0 -> 1 ≠ 0
-2 = -λ -> λ = 2
Nicht L.A!
Für t = 1:
\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\ \end{pmatrix} \) = λ * \( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \)
1 = λ
-2 = 2λ -> λ = -1
Nicht L.A!
Für Parameter t (ab hier hänge ich gleich):
\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\ \end{pmatrix} \) = λ * \( \begin{pmatrix} t^2\\3t-1\\ \end{pmatrix} \)
(1) 1 = λt^2 -> λ = 1/t^2 = t^-2
(2) -2 = 3tλ-λ
Nun setze ich λ = 1/t^2 = t^-2 in (2) ein:
-2 = 3*(t^1) * (t^-2) - (t^-2)
-2 = 3*(t^{-1}) - (t^-2)
-2 = (t^{-1})*(3-(t*-1))
-> -2 = t^{-1} ∨ -2 = 3-(t^{-1})
-2 = t^{-1} ∨ -5 = -(t^{-1})
-2 = t^{-1} ∨ 5 = t^{-1}
Ich bin mir sicher dass ich hier irgendwo einen Fehler gemacht habe, da mir das Ergebnis nicht weiterhilft.
Könnte jemand bitte ein Blick drauf werfen und mir einen Tipp geben?
