Eigenwerte von Matrizen berechnen

Question

A= \( \begin{pmatrix} -2&-1&0&0 \\ -1&-2&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&-2 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Schreibe in die Hauptdiagonale hinter jede eingetragene "-2" zusätzlich noch "-λ" und berechne die Determinante der so erhaltenen Matrix. Aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms erhältst du die Eigenwerte.

Comments

Das habe ich gemacht aber ich bekomme zuviel -2-λ raus und ich weiss nicht wie ich die zusammen fassen muss und ob ich polynomdivison 4 grad machen muss

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Wenn du nur die Ergebnisse brauchst: -3, -2 (doppelt) und -1.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-2,-1,0,0),(-1,-2,0,0),(0,0,-2,0),(0,0,0,-2))

Answer 2

Hallo hajzu,

berechne die Werte, für die die Determinante von  A - λ · E  den Wert 0 hat:

A - λ · E      ( E ist die Einheitsmatix für 4x4  Matrizen )

⎡ -2 - λ       -1         0           0  ⎤
⎢  -1        -2 - λ       0           0  ⎥
⎢    0          0       -2 - λ        0  ⎥
⎣    0          0          0      -2 - λ ⎦

Det(A - λ · E)

    Entwickle (#) z. B. nach der 4. Zeile, dann die 3er- Detemnante nach der dritten Zeile:

 =  (-2-λ)² · ( (-2-λ)² - 1)

 =  (λ + 1)·(λ + 3)·(λ + 2)²

Eigenwerte:   λ₁ = -1  ,   λ₂  =  -3   ,  λ_3,4 = -2

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(#)  INFO

Gruß Wolfgang

Answer 3

das ist eine Blockdiagonalmatrix. Deren Eigenwerte sind die Eigenwerte der einzelnen Blöcke.

Unten rechts der Block ist das -2fache der Einheitsmatrix , also doppelter Eigenwert -2.

Oben links musst du noch rechnen, aber das ist ne 2x2 Matrix, geht leicht ;).