Eigenwerte bestimmen mit Hilfe von Lambda

Question

Aufgabe:

Eigenwerte bestimmen

\( M=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich bekomme nicht die richtige Variante mit λ raus. Wäre lieb, wenn mir jemand die Lösung geben könnte.

Danke im Voraus.

Comments

Ich bekomme nicht die richtige Variante mit λ raus.

Woher heißt du, dass deine Variante die falsche ist?

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weil sie nicht den nicht ausführlichen Lösungen meiner Aufgabe entsprechen.

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es gibt auch andere Wege als die Musterlösung

Answer 1

\( \mathrm{DET}\left[\begin{array}{cccccc}1-\mathrm{k} & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2-\mathrm{k} & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1-\mathrm{k} & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2-k & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5-\mathrm{k} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9-\mathrm{k}\end{array}\right]=0 \)

Ich komme auf die Lösung: k = 9 ∨ k = 5 ∨ k = -2 ∨ k = 2 ∨ k = -1 ∨ k = 1

Comments

Kannst du mir den Rechenweg sagen? :)

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Der Rechenweg wurde bereits genannt von mathef

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Der Rechenweg wurde bereits genannt von mathef

Solltest du den Rechenweg nicht verstehen, melde dich aber gerne nochmals und sag auch am besten, was du genau nicht verstehst.

Answer 2

Es bietet sich an die Eigenwerte über die Block-Diagonalgestalt zu lösen

$$det\begin {pmatrix} {B-\lambda}I_n & C \\ 0 & {D-\lambda}I_n \end{pmatrix}=det(B-\lambda I_n)det(D-\lambda I_n)=0$$

Answer 3

\( M=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9\end{array}\right) \)

Du brauchst ja die Determinante von M-x*E

Das geht leicht mit Blockmatrizen , also die Det.

der 3x3 Matrix oben links mal Det. des 3x3 Blocks unten rechts.

Dann gibt die erste  (1-x)(2-x)(-x-1)

und die zweite (9-x)(-x-2)(5-x) .

Und an dem Produkt (1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x)  kannst

du doch die Eigenwerte ablesen.

Comments

Das habe ich gemacht und habe jetzt 10x^2-18x-88. Ist das korrekt oder habe ich einen Fehler gemacht?

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Es muss 6 Eigenwerte geben bei einer 6x6 Matrix, in deinem Fall kannst du die Eigenwerte direkt ablesen da diese bereits faktorisiert sind (1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x)

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Du hast doch

(1-x)(2-x)(-x-1)(9-x)(-x-2)(5-x) = 0

Dieses Produkt ist genau dann gleich 0,

wenn einer der Faktoren 0 ist, also

1-x=0   d.h.  x=1

oder 2-x=0   d.h. x=2

oder -x-1=0   d.h. x=-1

oder ... oder .... oder