Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und begründen Sie, wie ohne weitere Rechnung, dass A diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie
A := \( \begin{pmatrix} −1 & 0 & 2 & 2  \\ −3 & -2 & 11 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ −3 & 0 & 8 & 4 \end{pmatrix} \)
∈ M4(R).

Problem/Ansatz:

(a) Verifizieren Sie _χA(X) = (X2 − 1)(X2 − 4) durch eine kleinschrittige, gut kommentierte
Rechnung.

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und begründen Sie, wie ohne weitere Rechnung, dass A diagonalisierbar ist.

Answer 1

(X^2 − 1)(X^2 − 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

Also gibt es 4 verschiedene Eigenwerte und wenn du

zu jedem einen Eigenvektor nimmst, hast du eine Basis von

Eigenvektoren und damit die Matrix in Diagonalgestalt:

1     0     0     0
0    -1    0      0
0     0    2      0
0     0     0     -2

Comments

Fehlt ein x ?

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Danke, gut aufgepasst !

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Vielen Dank für die Antwort , weißt du auch zufällig was ich bei Aufgabenteil a machen muss ?

Mfg

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Da sollst du vorrechnen, wie man auf das char. Polynom kommt.

Das ist ja die Determinante von

\( \begin{pmatrix} −1-x & 0 & 2 & 2  \\ −3 & -2-x & 11 & 6 \\ 0 & 0 & -1-x & 0 \\ −3 & 0 & 8 & 4-x \end{pmatrix} \)

Die entwickelst du am besten nach der 2. Spalte und hast

(-2-x)*det(\( \begin{pmatrix} −1-x  & 2 & 2  \\  0  & -1-x & 0 \\ −3  & 8 & 4-x \end{pmatrix} \))

Dann würde ich  nach der 2. Zeile entwickeln und bekomme

(-2-x)*(-1-x)det(\( \begin{pmatrix} −1-x   & 2  \\   −3  & 4-x \end{pmatrix} \))

Das gäbe insgesamt:

(-2-x)*(-1-x)(-1-x)(4-x)

Das ist aber nicht das angegebene Ergebnis.

Hast du vielleicht in der Matrix eine Zahl falsch

abgeschrieben ?

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alle Zahlen in der Matrix sind so, wie in der Aufgabe angegeben , hab das gerade kontrolliert.