verschiedene Eigenwerte - diagonalisierbar.

Question

Aufgabe:

Sei \( \phi \) ein Endomorphismus auf einem \( n \)-dimensionalen Vektorraum.
Zeigen Sie: Wenn \( \phi n \) verschiedene Eigenwerte besitzt, dann ist \( \phi \) diagonalisierbar.

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen? Danke.

Answer 1

(1) Ein System \((v_1,...,v_n)\) aus Eigenvektoren von \(\phi\) zu verschiedenen Eigenwerten \(\lambda_1,...,\lambda_n\in K\) ist stets linear unabhängig.

(2) Ein Endomorphismus \(\phi : V\to V\) mit \(\dim V=n\) ist genau dann diagnoalisierbar, wenn \(V\) eine Basis aus Eigenvektoren von \(\phi\) besitzt.

Also:

Exisitieren \(n\) paarweise verschiedene Eigenvektoren, dann hat \(V\) nach (1) eine Basis aus Eigenvektoren und nach (2) folgt die Diagonalisierbarkeit.

Welche Aussage fehlt dir, um den Beweis zu komplettieren?