Hallo Emirhan,
die Formeln sind etwas schwer lesen. Ich lese: $$\begin{aligned} F &= - 6 \pi r \eta v \\ \eta &= 10^{-3} \frac{\text{kg}}{\text{ms}} \\ v(t=0) &= 25 \frac{\mu \text{m}}{\text{s}} = 25 \cdot 10^{-6} \frac{\text{m}}{\text{s}}\\ r &= 1 \mu \text{m} = 1 \cdot 10^{-6} \text{m} \\ \rho &= 1 \frac{\text{kg}}{\text{l}} = 1 \frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 10^{3} \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \end{aligned} $$ Das zweite Newton'sche Gesetz besagt nun, dass die Beschleunigung und damit die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers proportional zur Summe der auf ihn wirkenden Kräfte ist. Auch bekannt als die Formel $$F = m \cdot \dot v = m \cdot a$$ d.h. der Proportionalitätsfaktor ist die Masse \(m\) des Körpers. Wenn diese Funktion $$x(t) = v_0 T (1-e^{\frac {-t}T})$$ den Weg des Bakteriums über die Zeit beschreibt, so muss die zweite Ableitung \(\ddot x = \dot v\) mal der Masse \(m\) gleich der Kraft sein. Also $$\begin{aligned} \dot x(t) &= v = v_0 e ^{\frac {-t}T} \\ \ddot x(t) &= \dot v = -\frac{v_0}T e^{\frac {-t}T} = -\frac vT \\ F &= m \cdot \dot v =-\frac mT v\end{aligned}$$ D.h. die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit, genau wie in der Gleichung der Reibungskraft vorgegeben. Es muss lediglich der Wert für \(T\) bestimmt werden. Diese geschieht durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für die Kraft \(F\) $$-\frac mT v = - 6 \pi r \eta v \\ \implies T = \frac{m}{6 \pi r \eta} = \frac{\frac43 \pi r^3 \rho}{6 \pi r \eta} = \frac{2 r^2 \rho}{9 \eta} = \frac29 \cdot 10^{-6} \text{s} \approx 2,22 \mu\text{s}$$
Aus dem Plot lese ich ab, dass das Bakterium nach 0,4μs die Strecke von 1μm erreicht. Daraus folgt die Anfangsgeschwindigkeit von $$v(t=0) = \frac{1 \mu \text{m}}{0,4 \mu \text{s}} = 2,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ was aber viel zu schnell ist. \(v_0\) ist um den Faktor \(10^5\) zu hoch! Entweder habe ich mich verrechnet oder etwas falsch abgelesen. Das Foto ist leider unscharf.
Der Weg endet bei ca. 5,6μm, wenn ich das richtig ablese. Für \(t \to \infty\) ist \(x(t \to \infty) = v_0 T\). Daraus würde dann folgen dass $$T = \frac{x(t \to \infty) }{v_0} = \frac{5,6 \mu \text{m}}{ 2,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}} = 2,24 \mu\text{s}$$ was dann wieder gut mit der Rechnung oben übereinstimmt.
Bitte kläre noch mal ab, wie groß ist \(v_0\) und wie ist die Skala auf dem Graphen.
Gruß Werner
