Vektoren Pyramide Höhe

Question

Aufgabe:

Ich habe eine pyramide bekommen mit den eckkoordinaten (a,b,c,d,s).

Ich solle jz die höhe und das volumen berechnen.

Die höhe soll ich anscheind mit einem normalenvektor berechen, aber ich weiss nicht genau wie ich vorangehen soll.

Würde meine koordinaten angeben :)

Wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen würde.

Answer 1

Du hast wahrscheinlich die Eckpunkte der Grundfläche A, B, C und D bekommen und den Punkt der Pyramidenspitze S. Man könnte dir leichter helfen, wenn man mehr über die Grundfläche wüsste. Angenommen die Grundfläche ist ein Parallelogramm, dann ist die Grundflächengröße G=|(B-A)×(D-A)| und das Volumen V ist 1/3 des Spatproduktes der Vektoren B-A, D-A und S-A. Dann gilt für die Höhe h=3V/G.

Im übrigen findest du fast alles zu dieser Frage im Internet.

Comments

Gegeben sind die punkte a(3/0/-1) b(3,7,-1)
C(-3/7/-1) d(-3/0/1) und s (0/3,5/6)

Können sie mir das bitte an diesem beispiel berechnen ?

Schreibe diese woche eine arbeit und verstehe das noch nicht so gut.

Wenn sie mir das an diesem beispiel mit diesen punkten zeigen würde, könnte ich das besser verstehen.

Das wäre so lieb :(

Ich brauche wirklich jemand der mir das zeigt.

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Ich nehme an, es sollte so heißen: Gegeben sind die Punkte A(3/0/-1) B(3,7,-1)
C(-3/7/-1) D(-3/0/- 1) und S(0/3,5/6).

Dann liegen alle x₃-Koodinaten bei x₃=-1 und ABCD ist ein Rechteck. Da S die x₃-Koordinate x₃=6 hat, ist die Höhe der Pyramide h=7.

In diesem Falle kann man das Pyramidenvolumen ganz ohne Vektorrechnung bestimmen: Die Seiten der rechteckigen Grundfläche haben die Längen 6 und 7. Das Maß der Grundfäche ist also G=42.

Die Formel für ein Pramidenvolumen ist V=G/3·h und hier: V=42/3·7=98.

Wenn du die vektorielle Lösung brauchst, musst du zuvor wissen, was ein Vektorprodukt und was ein Spatprodukt ist und was es jeweils geometrisch bedeutet.

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Dankeschön!

Aber wie kann ich nachweisen, dass die pyramide gerade ist?

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Aber wie kann ich nachweisen, dass die Pyramide gerade ist?

Die Pyramide ist gerade, wenn ihre Spitze sich genau über dem Mittelpunkt ihrer Grundfläche befindet, bzw. wenn das Lot von der Spitze auf die Grundfläche genau durch den Mittelpunkt der Grundfläche geht.

Der Mittelpunkt der Grundfläche ist der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AC\) (der Diagonalen), da die Grundfläche mindestens ein Parallelogramm ist (sie ist ein Rechteck!). Es ist $$M = \frac12 \left( A + B\right) = \frac12 \left( \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3\\ 7\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ -1\end{pmatrix} $$ Die Grundfläche liegt parallel zur XY-Ebene, da die Z-Koordinaten der Punkte \(A\) bis \(D\) identisch sind \((z=-1)\). Folglich ist das Lot von \(S\) auf diese Ebene $$\text{Lot}(S, z=-1) = \text{Lot}\left( \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix}, z=-1\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ -1\end{pmatrix} $$ und dies ist identisch mit \(M\). Die Pyramide ist gerade.

Gruß Werner

Answer 2

Die höhe soll ich anscheind mit einem normalenvektor berechen

Grund dafür ist, dass

• die Höhe eine Pyramide senkrecht zur Grundfläche verläuft und
• der Normalenvektor einer Ebene senkrecht zur Ebene verläuft.
  

Den Normalenvektor kannst du entweder mit dem Kreuzprodukt \(\vec{n} = \vec{ab}\times\vec{ac}\) berechnen, oder du stellst mit dem Skalarprodukt ein Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}\vec{ab}\cdot\begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} &= 0\\\vec{ac}\cdot\begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} &= 0\end{aligned}\)

auf. Verwende \(\vec{n}=\begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor einer Geraden g durch s. Bestimme den Schnittpunkt p von g und der Ebene durch a,b,c,d. Die Höhe ist der Abstand zwischen den Punkten p und s.

Volumen einer Pyramide ist 1/3·Grundfläche·Höhe.

Würde meine koordinaten angeben :)

Brauchst du nicht. Wichtig für den Rechenweg ist, welche Objekte bekannt sind, und nicht welchen Wert die bekannten Objekte haben.

Comments

Gegeben sind die punkte a(3/0/-1) b(3,7,-1)
C(-3/7/-1) d(-3/0/1) und s (0/3,5/6)

Können sie mir das bitte an diesem beispiel berechnen ?

Schreibe diese woche eine arbeit und verstehe das noch nicht so gut.

Wenn sie mir das an diesem beispiel mit diesen punkten zeigen würde, könnte ich das besser verstehen.

Das wäre so lieb :(

Ich brauche wirklich jemand der mir das zeigt.

Answer 3

Bist du immer noch bei dieser Aufgabe?

https://www.mathelounge.de/586901/welche-besondere-lage-bezuglich-koordinatenachsen-ebene#a586942

und ausführlicher hier https://www.mathelounge.de/586981/ebenengleichungen-aufstellen-quadratische-pyramide

Zeichne dir die Pyramide in ein Koordinatensystem oder bastle sie, wenn du die Höhe h = 8 der Pyramide nicht direkt ablesen kannst.