Bestimme den Rauminhalt V(t) der Pyramide.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck ABC mit A (2/6/0), B (0/5/2) und C (3/1,5/1) sowie der Spitze S, die sich auf der Gerade h:x = \( \begin{pmatrix} 3\\1,5\\1 \end{pmatrix} \) + t × \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} \) bewegt.

Bestimme den Rauminhalt V(t) der Pyramide.

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Formel für das Volumen einer Pyramide: V = 1/3 G×h.

G habe ich berechnet: 3√5. Wie finde ich jetzt die Höhe der Pyramide in Abhängigkeit von t raus? Welche Vektor ist die Höhe? Also zwischen S und welchem Punkt? Ich hatte die Überlegung einfach C als Bezugspunkt zu nehmen, da er der Lotfußpunkt der Ebene ABC und Gerade ist. Man kann aber nicht davon ausgehen, dass es eine gerade Pyramide ist. Könnte ja auch sein, dass sie schief ist.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Für jedes t ist die Spitze ein anderer Punkt, nämlich immer

 \( \begin{pmatrix} 3\\1,5\\1 \end{pmatrix} \) + t × \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} \)

Deshalb auch nicht einfach nur V sondern V(t).

Comments

Schon klar. Aber wie kann ich es berechnen?

Answer 2

einfach C als Bezugspunkt zu nehmen, da er der Lotfußpunkt der Ebene ABC und Gerade ist.

Wie kommst du darauf, dass C der Lotfubpunkt ist? Hast du denn schon überprüft, ob der Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} \) senkrecht auf der Grundfläche steht?

Apropos:

G habe ich berechnet: 3√5.

Ist bei dieser Berechnung (mit Kreuzprodukt) nicht auch der Normalenvektor der Grundfläche mit "als Nebenprodukt" abgefallen?

Comments

Er liegt nicht senkrecht auf der Ebene. Kannst du mir weiterhelfen? Ich weiß nicht weiter.

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Ich weiß nicht, wie ich dir helfen kann, das hängt vom Vorwissen ab.

Kennst du das Spatprodukt?

Kennst du die Abstandsfomel Punkt-Ebene mit der Hesseschen Normatenform?

Hast du den Normalenvektor der Grundfläche?

Kannst du die Gleichung einer Gerade aufstellen, die durch die Spitze verläuft und senkrecht auf der Grundfläche steht? (Auch dazu brauchst du den Normalenvektor.)

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Das Spatprodukt kenne ich nicht. Alles andere kann ich. Wie kann ich vorgehen?

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Stelle die Gleichung einer Gerade auf, die durch die Spitze geht und senkrecht auf der Grundfläche steht (ihr Richtungsvektor muss also der Normalenvektor der Grundfläche sein.) Die Gerade schneidet die GrundFlächenebene in einem Punkt F.

Der Abstand der Punkte S(3+t | 1.5 | 1+t)  und F (auch abhängig von t) ist die Höhe der Pyramide.

Aber wenn du die Abstandsformel mit der Hesseschen Normalenform kennst, kannst du den Abstand von S(3+t | 1.5 | 1+t) zur Grundfläche auch direkter berechnen.

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Ich habe jetzt mithilfe von HNF den Abstand des Punktes S (t+3/1,5/t+1) von der Ebene berechnet. Für das Volumen kommt insgesamt 3t raus.