Größter gemeinsame Teiler - Polynomring

Question

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten: 

Bestimmen sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler der folgenden Polynome im jeweiligen Polynomring.

a) f(x)=3x^3+x^2+x+2 und g(x)=2x-1 in Q[x]

Ansatz: 
Das Prinzip zum bestimmen des ggT ist mir klar. Man führt eine Polynomdivision mit dem niederwertigen Polynom als dividend durch. Jedoch komme ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) auf 23/8 und nicht auf 0? 

Wie geht man beim Polynomring im allgemeinen vor? Kann mir das jemand erläutern? 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

f(x) ist nicht ohne Rest durch g(x) teilbar. Der ggT ist somit nicht linear, sondern konstant (hier 1).

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung! 

Kannst du mir vielleicht erklären, wie man darauf kommt?

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Der Term 2x-1 wird 0 für x=0,5.

Würde der Term (2x-1) als Faktor in f(x) stecken, müsste f(x)  auch die Nullstelle 0,5 haben. f(0,5) ist aber nicht 0.

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Entschuldige meine vielleicht "blöden" Fragen, aber gut, das ist soweit klar. Aber wieso dann 1?

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Und noch eine Frage: 
Wenn ich die Polynome f(x) = x^9-1 und g(x)=x^2-1 in Q[x] betrachte und 2 mal die Polynomdivision durchführe erhalte ich am Ende 0 und als ggT x-1, ist das korrekt?

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Ja, das ist korrekt.

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Kannst du mir vielleicht auch hierbei helfen? 

f(x)=x^2+ax+b und g(x)=x-c in Q[x] mit a,b,c ∈ Q. Welche Bedingung müssen a,b und c erfüllen damit der ggT nicht 1 ist?