Polynomdivision: Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

Question

 

kann mir jemand sagen, wie man folgende Aufgabe löst? Vielen Dank vorab! :)

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils den ggT der folgenden Polynome:

f(x) = ax^2+ax+b, g(x) = x-c in Q[x] mit a,b,c ∈ Q. Welche Bedingung müssen a,b und c erfüllen, damit der ggT nicht 1 ist?

Answer 1

Hallo

 x-c und ax^2+ax+b müssen eine gemeinsame Nullstelle haben.

oder Division ohne Rest.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Info! Reicht es das einfach so aufzuschreiben? Oder muss man das noch ausführlicher ausführen?

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Hallo

 du brauchst doch daraus die Beziehung zwischen a,b,c.

Gruß lul

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Vielen Dank für die Rückmeldung.

Die Nullstelle von x-c ist ja offensichtlich +c. c müsste dann ja die gemeinsame Nullstelle sein, was bedeuten würde, dass folgende Gleichung gilt: 

ax^2+ax+b = c, was ich dann nach a und b umstellen würde. 
--> a wäre demnach -(b-c)/(x^2+x) 
--> b wäre b = c-a*x*(x+1)

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Hallo

 du brauchst ne Beziehung zwischen a,b,c . x hat darin nichts zu suchen!

Gruß lul

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Also ich habe jetzt mal ein wenig rumprobiert um mir das vorzustellen und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass die Variablen in folgendem Verhältnis stehen müssen, damit Sie 1 gemeinsame NS besitzen:

c sei beliebig, b = -c und a = c-1

Doch wie beweise ich das formal korrekt?