Wahrscheinlichkeit P(X<=Y) mit 2 stetigen Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit Dichte $$ f\left( x,y \right) = \begin{cases} 2-x-y \quad für \quad x \in [0,1], \quad y \in [0,1] \\ 0 \quad sonst. \end{cases} $$

Berechne die Wahrscheinlichkeit $$ P(X \le Y) $$

Wie mache ich das?

Answer 1

Die Zufallsvariablen x und y treten in der Formel absolut gleichberechtigt auf; ihre Vertauschung würde nichts an der Dichtefunktion und damit nichts an der Wahrscheinlichkeitsverteilung ändern.  X<=Y ist damit genau so wahrscheinlich wie Y<=X.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit 0,5.

Answer 2

Nur eine Idee

∫ (0 bis 1) ∫ (x bis 1) (2 - x - y) dy dx = 0.5