uneigentliche Integrale, Integration, Substitution

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das bestimmte Integral

von 0 bis unendlich für die Funktion x2^-x^2

Problem/Ansatz:

Wie würde man hier vorgehen? Über Substitution?

Ich könnte zunächst einmal das Integral umschreiben:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) x*1/2^{x^2}

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so?

---

ja, das \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x2^{-x^2}  dx

Answer 1

Du kannst 2^{-x^2} schreiben als $$e^{-x^{2}ln2}$$ und dann $$u=-x^{2}ln2$$ substituieren

Comments

weil e und ln sich gegenseitig aufheben? (deshalb e^....)

---

Immer wenn Du beim Integrieren die Integrationsvariable x im Exponenten hast, musst Du diese Umformung verwenden..

$$2^{-x^{2}}=e^{ln2^{-x^{2}}}=e^{-x^{2}ln2}$$

---

hätte das integral von 0 bis unendlich von x*e^u*du/(-2ln(2)x) dx bei der Substitution. Wie gehe ich weiter vor?

---

Das x kürzen.

---

Ja, ich hätte dann e^z*(-1/(2ln(2)) dz und finde trotzdem kein passendes Standardintegral

---

e^z wäre e^z integriert, aber bei dem andereren habe ich keine Ahnung

---

Heh, das ist einfach eine Konstante, die Du auch vor das Integral schreiben kannst

---

Komme auf -e^-xln(2)/(2ln(2)) als Lösung des Integrals, stimmt das denn??

---

$$\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}$$

---

??? Wie kommt man drauf?

Nachdem ich -1/(2ln(2) * e^u gerechnet habe, erhalte ich das obige Ergebnis

mit u=-x^2ln(2)

also -1/(2ln(2) *e^u= -e^u/2ln(2)

---

$$\int_{}^{} x*2^{-x^{2}} dx =\int_{}^{} x*e^{u} \frac{du}{-2xln2} =\frac{1}{-2ln2}\int_{}^{} e^{u} du=\frac{1}{-2ln2}[e^{u}]=\frac{1}{-2ln2}[e^{-x^{2}*ln2}] =\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}$$

---

Das passt. Mach einfach die Rücksubstitution...

---

Die Rücksubstitution hat mir gefehlt. Edit: sehe erst jetzt deinen Kommentar.

---

mit den integrationsgrenzen eingesetzt, erhalte ich =-1 für das bestimmte INtegral

also

-1/(2ln(2)*0-(-1/(2ln(2)*1/2^0^2

=1/(2ln(2))

korrekt?

---

Das sieht schön aus...

---

was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?

Answer 2

anderer Weg:

zuerst setzt Du z=-x^2 , dann wende das folgende Standardintegral an:

∫ a^(x) =a^x/(ln(a)) ; a ≠1 ->steht in fast jeder Formelsammlung

- was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?

1/(2ln(2)) ist richtig.