Aufgabe:
Berechnen Sie das bestimmte Integral
von 0 bis unendlich für die Funktion x2^-x2
Problem/Ansatz:
Wie würde man hier vorgehen? Über Substitution?
Ich könnte zunächst einmal das Integral umschreiben:
∫0∞ \int\limits_{0}^{\infty} 0∫∞ x*1/2x^2
Lautet die Aufgabe wirklich so?
ja, das ∫0∞ \int\limits_{0}^{\infty} 0∫∞ x2-x^2 dx
Du kannst 2-x^2 schreiben als e−x2ln2e^{-x^{2}ln2}e−x2ln2 und dann u=−x2ln2u=-x^{2}ln2u=−x2ln2 substituieren
weil e und ln sich gegenseitig aufheben? (deshalb e^....)
Immer wenn Du beim Integrieren die Integrationsvariable x im Exponenten hast, musst Du diese Umformung verwenden..
2−x2=eln2−x2=e−x2ln22^{-x^{2}}=e^{ln2^{-x^{2}}}=e^{-x^{2}ln2}2−x2=eln2−x2=e−x2ln2
hätte das integral von 0 bis unendlich von x*eu*du/(-2ln(2)x) dx bei der Substitution. Wie gehe ich weiter vor?
Das x kürzen.
Ja, ich hätte dann ez*(-1/(2ln(2)) dz und finde trotzdem kein passendes Standardintegral
ez wäre ez integriert, aber bei dem andereren habe ich keine Ahnung
Heh, das ist einfach eine Konstante, die Du auch vor das Integral schreiben kannst
Komme auf -e^-xln(2)/(2ln(2)) als Lösung des Integrals, stimmt das denn??
−12ln2∗2−x2\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}2ln2−1∗2−x2
??? Wie kommt man drauf?
Nachdem ich -1/(2ln(2) * eu gerechnet habe, erhalte ich das obige Ergebnis
mit u=-x2ln(2)
also -1/(2ln(2) *eu= -eu/2ln(2)
∫x∗2−x2dx=∫x∗eudu−2xln2=1−2ln2∫eudu=1−2ln2[eu]=1−2ln2[e−x2∗ln2]=−12ln2∗2−x2\int_{}^{} x*2^{-x^{2}} dx =\int_{}^{} x*e^{u} \frac{du}{-2xln2} =\frac{1}{-2ln2}\int_{}^{} e^{u} du=\frac{1}{-2ln2}[e^{u}]=\frac{1}{-2ln2}[e^{-x^{2}*ln2}] =\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}∫x∗2−x2dx=∫x∗eu−2xln2du=−2ln21∫eudu=−2ln21[eu]=−2ln21[e−x2∗ln2]=2ln2−1∗2−x2
Das passt. Mach einfach die Rücksubstitution...
Die Rücksubstitution hat mir gefehlt. Edit: sehe erst jetzt deinen Kommentar.
mit den integrationsgrenzen eingesetzt, erhalte ich =-1 für das bestimmte INtegral
also
-1/(2ln(2)*0-(-1/(2ln(2)*1/20^2
=1/(2ln(2))
korrekt?
Das sieht schön aus...
was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?
anderer Weg:
zuerst setzt Du z=-x2 , dann wende das folgende Standardintegral an:
∫ a^(x) =ax/(ln(a)) ; a ≠1 ->steht in fast jeder Formelsammlung
- was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?
1/(2ln(2)) ist richtig.
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