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Aufgabe:

Berechnen Sie das bestimmte Integral

von 0 bis unendlich für die Funktion x2^-x2


Problem/Ansatz:

Wie würde man hier vorgehen? Über Substitution?

Ich könnte zunächst einmal das Integral umschreiben:


0 \int\limits_{0}^{\infty} x*1/2x^2

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Lautet die Aufgabe wirklich so?

ja, das 0 \int\limits_{0}^{\infty} x2-x^2  dx

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Beste Antwort

Du kannst 2-x^2 schreiben als ex2ln2e^{-x^{2}ln2} und dann u=x2ln2u=-x^{2}ln2 substituieren

Avatar von 3,4 k

weil e und ln sich gegenseitig aufheben? (deshalb e^....)

Immer wenn Du beim Integrieren die Integrationsvariable x im Exponenten hast, musst Du diese Umformung verwenden..

2x2=eln2x2=ex2ln22^{-x^{2}}=e^{ln2^{-x^{2}}}=e^{-x^{2}ln2}

hätte das integral von 0 bis unendlich von x*eu*du/(-2ln(2)x) dx bei der Substitution. Wie gehe ich weiter vor?

Das x kürzen.

Ja, ich hätte dann ez*(-1/(2ln(2)) dz und finde trotzdem kein passendes Standardintegral

ez wäre ez integriert, aber bei dem andereren habe ich keine Ahnung

Heh, das ist einfach eine Konstante, die Du auch vor das Integral schreiben kannst

Komme auf -e^-xln(2)/(2ln(2)) als Lösung des Integrals, stimmt das denn??

12ln22x2\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}

??? Wie kommt man drauf?


Nachdem ich -1/(2ln(2) * eu gerechnet habe, erhalte ich das obige Ergebnis

mit u=-x2ln(2)


also -1/(2ln(2) *eu= -eu/2ln(2)

x2x2dx=xeudu2xln2=12ln2eudu=12ln2[eu]=12ln2[ex2ln2]=12ln22x2\int_{}^{} x*2^{-x^{2}} dx =\int_{}^{} x*e^{u} \frac{du}{-2xln2} =\frac{1}{-2ln2}\int_{}^{} e^{u} du=\frac{1}{-2ln2}[e^{u}]=\frac{1}{-2ln2}[e^{-x^{2}*ln2}] =\frac{-1}{2ln2}*2^{-x^{2}}

Das passt. Mach einfach die Rücksubstitution...

Die Rücksubstitution hat mir gefehlt. Edit: sehe erst jetzt deinen Kommentar.


mit den integrationsgrenzen eingesetzt, erhalte ich =-1 für das bestimmte INtegral

also

-1/(2ln(2)*0-(-1/(2ln(2)*1/20^2

=1/(2ln(2))

korrekt?

Das sieht schön aus...

was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?

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anderer Weg:

zuerst setzt Du z=-x2 , dann wende das folgende Standardintegral an:

∫ a^(x) =ax/(ln(a)) ; a ≠1 ->steht in fast jeder Formelsammlung

- was denn die -1 oder die 1/(2ln(2)) ?

1/(2ln(2)) ist richtig.

Avatar von 121 k 🚀

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