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Hallo !


ich möchte gerne das Integral

$$ \int_G x^2+y^2 d(x,y) $$ ausrechnen über dem Gebiet

$$ G:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+ 4y^2 >1, x^2+y^2<4 \} $$

Ich weiß, dass es naheliegt eine Transformation mit Polarkoordinaten zu machen

Jetzt stecke ich fest bei der Wahl der richtigen Grenzen.

Kann ich annehmen , dass 
$$ 1 < x^2+y^2 <4  $$ ? ich kenne das auch bisher nur mit  $$ \leq $$


wäre sehr dankbar für jede Hilfe! 
LG

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1 Antwort

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Hallo

 <= oder < ändert an den Grenzen nichts,  aber das 1<x^2+y^2 ist so zu ungenau,  denn du hast ja das Gebiet zwischen einem Kreis mit Radius 2 und einer Ellipse mir Halbachse 1 in x Richtung und Halbachse 1/2 in y Richtung , zeichne das erstmal auf, um die Grenzen zu sehen, die für r hängen vom Winkel ab.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

ja! das Zeichnen macht es doch etwas klarer..


Ein Kreis mit Radius 2 , und Eine flache Ellipse  mit -0,5 <y< 0,5 und -1 <x< 1.

Die Funktion y= x^2+y^1 ist ein Kreis mit Mittelpunkt y= 0,5.


Wie ich jetzt bei sowas die Grenzen bestimmt, ist mir leider noch nicht klar :(

könnten die Grenzen

$$ -2 \leq x  \leq -0,5 $$, $$0,5 \leq x \leq 2 $$

und $$ -2 \leq y \leq 0,5$$ ,$$ 0,5 \leq y \leq 2 $$


sein? und ich das Integral einfach in 2 Teile aufspalten kann?


LG!

Hallo

schreibe x(t),y(t) für die Kurven in Polarkoordienaten hin, dann hast du den Vektor r1(t) und r2(t) die Differenz bilden und den Betrag, dann hast du die Grenzen von |r| in Abhängigkeit von t

 Wenn du es gezeichnet hast, musst du eigentlich sehen, dass du deine angegebenen Grenzen nicht so hast, ausserdem schriebst du doch selbst, dass du in Polarkoordinateen rechnen willst.

Gruß lul

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