Richtige Grenzen für das Doppelintegral finden

Question

Hallo !

ich möchte gerne das Integral

$$ \int_G x^2+y^2 d(x,y) $$ ausrechnen über dem Gebiet

$$ G:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+ 4y^2 >1, x^2+y^2<4 \} $$

Ich weiß, dass es naheliegt eine Transformation mit Polarkoordinaten zu machen

Jetzt stecke ich fest bei der Wahl der richtigen Grenzen.

Kann ich annehmen , dass 
$$ 1 < x^2+y^2 <4  $$ ? ich kenne das auch bisher nur mit  $$ \leq $$

wäre sehr dankbar für jede Hilfe! 
LG

Answer 1

Hallo

 <= oder < ändert an den Grenzen nichts,  aber das 1<x^2+y^2 ist so zu ungenau,  denn du hast ja das Gebiet zwischen einem Kreis mit Radius 2 und einer Ellipse mir Halbachse 1 in x Richtung und Halbachse 1/2 in y Richtung , zeichne das erstmal auf, um die Grenzen zu sehen, die für r hängen vom Winkel ab.

Gruß lul

Comments

ja! das Zeichnen macht es doch etwas klarer..

Ein Kreis mit Radius 2 , und Eine flache Ellipse  mit -0,5 <y< 0,5 und -1 <x< 1.

Die Funktion y= x^2+y^1 ist ein Kreis mit Mittelpunkt y= 0,5.

Wie ich jetzt bei sowas die Grenzen bestimmt, ist mir leider noch nicht klar :(

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könnten die Grenzen

$$ -2 \leq x  \leq -0,5 $$, $$0,5 \leq x \leq 2 $$

und $$ -2 \leq y \leq 0,5$$ ,$$ 0,5 \leq y \leq 2 $$

sein? und ich das Integral einfach in 2 Teile aufspalten kann?

LG!

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Hallo

schreibe x(t),y(t) für die Kurven in Polarkoordienaten hin, dann hast du den Vektor r1(t) und r2(t) die Differenz bilden und den Betrag, dann hast du die Grenzen von |r| in Abhängigkeit von t

 Wenn du es gezeichnet hast, musst du eigentlich sehen, dass du deine angegebenen Grenzen nicht so hast, ausserdem schriebst du doch selbst, dass du in Polarkoordinateen rechnen willst.

Gruß lul