Integralfunktion - Stammfunktion von Brüchen

Question

lerne momentan für meine Matheklausur und Schwerpunktthema sind Integrale. Verstehe das ganze Thema auch wie man eine Stammfunktion bildet, jedoch hänge ich an einer Aufgabe fest.

Diese lautet:

5x/(x^2+1) - 3x/(x^2+1)

Ich hätte jetzt zuerst die Stammfunktion von 5x berechnet und dann mit ln(x^2+1) addiert, da es ja die Stammfunktion dann ist.

Sprich:

5x* ln(x^2+1) - 3x * ln(x^2 +1)

Jedoch steht in den Lösungen, dass nur der ln(x^2+1) die Stammfunktion ist. Verstehe jedoch nicht warum. War bei einem anderen Beispiel auch der Fall, dass nur der untere Teil des Bruches verwendet wurde.

Würde mich über eine Erklärung freuen!

Mit freundlichen Grüßen Jannice

Answer 1

5x/(x^2+1) - 3x/(x^2+1) = (5x - 3x)/(x^(2)+1) = (2x)/(x^(2)+1)

2∫ x/(x²+1) = ∫1/u du

log(u)

= log (x²+1)

alles klar so?

Comments

verstehe die zeile vor log(u) noch nicht ganz :D

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Konstanten kann man vor dem integral ziehen,

Danach macht man subtition.

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Aber das x/(x^2+1) wie kommt man dann auf 1/u also wo ist das x geblieben ‍♀️

Haben das nie wirklich gemacht mit SF von verketteten Funktionen, hab es mir im Internet beigebracht aber sowas verwirrt mich noch mehr

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Hier muss man subtition machen.

(2 x)/(x^2 + 1) dx
= 2 integral x/(x^2 + 1) dx
x/(x^2 + 1), subtition u = x^2 + 1 und du = 2 x dx:
= integral 1/u du

= log(u) 
Rücksubtition u = x^2 + 1
 log(x^2 + 1)

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Ahh jetzt!

vielen lieben dank :)

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Aber noch eine Frage, geht das eigentlich auch ohne diese Substitution? Das haben wir nie bei einer SF gemacht & solch Aufgabentyoen kommen trotzdem dran. :)

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Soweit ich weiß nicht.

Wenn es jemand doch kann, weiss ich nicht :)

Denke aber nicht.

Was ist SF?

Das bringen die vielleicht noch bei :)

Answer 2

geht das eigentlich auch ohne diese Substitution? ------>JA

Es gibt folgende Regel:

∫(2 x)/(1 + x^2) dx  = ln(x^2 + 1) + C