Grenzwert bestimmen von Term mit Brüchen

Question

Aufg.: Bestimmen Sie den Grenzwert

$$\lim_{ n \rightarrow \infty }\left( \left( \frac { 1 } { n } + 1 \right) ^ { n } \cdot \frac { ( 3 n - 2 ) ^ { 2 } } { ( 3 n + 2 ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n + 1 } \right)$$

Mein Ansatz ist es, den Term in 3 Teile aufzuteilen und für jedes Teil den Grenzwert zu bestimmen

((1/n +1)ⁿ

1/unendlich  gegen null +1

 1/n+1 gegen null

stimmt das?

und nun meine Frage:

wie bestimme ich bei  (3n-2)²/(3n+2)² den Grenzwert?

über eine Antwort/Lösungsansatz würde ich mich sehr freuen

mfg

Comments

((1/n +1)^n

geht doch eigentlich gegen e. D.h. die " eulersche Zahl" (?). Schau mal unter diesem Stichwort in der Wikipedia nach.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1%2Fn+%2B1)%5En

Answer 1

Ausmultiplizieren und dann mit 1/n² erweitern.

Dann ergibt sich bei n-> unendlich 3/3 = 1.

Comments

(3n-2)2/(3n+2)2  ausmultipliziert ergibt 9n² -12n + 4 / 9n² + 12n +4

wenn ich das mit 1/n² erweitere ergibt das 1/25?

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$$(3n-2)^2=9n^2-12n+4$$

Erweitern:

$$\frac{9n^2}{n^2}-\frac{12n}{n^2}+\frac{4}{n^2}$$

ergibt mit n-> unendlich : 9

Ebenso mit dem anderen Term.

Das kannst du dir als grundsätzliche Regel merken: Wenn Zähler und Nenner die gleiche höchste Potenz haben, dann ist der Grenzwert gleich dem Quotienten der Vorfaktoren dieser Potenz.

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vielen dank !