Ring ohne Nullteiler - Polynomring

Question

Aufgabe:

Sei (R,+,x) ein Ring ohne Nullteiler. Sei R[x] die Menge der Polynome mit Koeffizienten in R. Zeigen Sie, dass auch R[x] ein Ring ist.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich das ganze beweisen kann. Kann mir hier jemand helfen? Vielen Dank vorab!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis Ring ohne Nullteiler

Stichworte: ring,nullteiler

Liebe Community, kann mir jemand sagen, wie man folgendes beweist? 

Sei (R, +, x) ein Ring ohne Nullteiler. Sei R[x] die Menge der Polynome mit Koeffizienten in R. Zeigen Sie, dass auch R[x] ein Ring ist. 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Die Elemente von R[x] sind Polynome mit Koeffizienten in R,

sie sehen also so aus :  Für jedes p ∈ R[x] gibt es jeweils

eindeutig ein n∈ℕo und a₀ , ….., a_n aus R mit

$$p=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}$$.

Jetzt musst du die Ringaxiome für diese Objekte

mit der entsprechenden Addition und Multiplikation

prüfen.

Abgeschlossenheit: Wenn man zwei davon addiert

oder multipliziert erhält man wieder ein Objekt aus R[x].

Wegen der Nullteilerfreiheit von R ist der Grad vom Produkt

zweier Polynome die Summe der Grade der einzelnen.

Da letztendlich nur mit den Koeffizienten gerechnet wird,

folgt die Gültigkeit von Assoziativität etc. aus der

Gültigkeit dieser Gesetze in R. Das musst du eben zeigen.

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! 

Würde ich dementsprechend immer verschiedene Elemente aus R[x] betrachten? Beispielsweise: 

Und dann zeigen, dass es sich bei (R[x], +) eine abelsche Gruppe handelt? 

Dies hätte ich dann so gemacht bzw. angefangen:

 

Daraufhin erhalten wir also die Assoziativität der Addition, dann zeige ich noch die Kommutativität, das neutrale Element und das inverse? 

Danach zeige ich, dass die Multiplikation assoziativ ist, das neutrale Element sowie das Distributivgesetz?

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So scheint es mir sinnvoll.