Ableitung mit Kettenregel von f(x)= sin((ax)^2)

Question

Wie funktioniert hier die Kettenregel?

Ableitung mit Kettenregel von f(x)= sin((ax)^2)

Comments

Zwei Versionen im Vergleich schon hier https://www.mathelounge.de/292084/ableitung-kettenregel-f-x-sin-a-x-2-und-g-x-sin-ax-2

Answer 1

Hallo Anna,

die Aufgabenstellung  wurde inzwischen mit  f(x) = sin((ax)²)  angegeben, während meine Antwort sich auf f(x) = (sin(ax))² bezieht

bei 1) werden Potenz- und Kettenregel und bei 2) wird die Kettenregel angewendet:

               ( u ist jeweils ein Term mit x)

1)   [ uⁿ ] ^'  = n · u^n-1 · u ' 

2)   [ sin(u) ] '  =  cos(u) · u ' 

[ sin(ax)² ] '  =_{1) mit u = sin(ax)}   2·sin(ax)  · [ sin(ax) ] '

                     =_{2) mit u = ax}         2·sin(ax) · cos(ax) · a

                    =  2a · sin(ax) · cos(ax)  

Gruß Wolfgang

Answer 2

die Aufgabenstellung  wurde inzwischen mit  f(x) = sin((ax)^2)  angegeben, während meine Antwort sich auf f(x) = (sin(ax))^2 bezieht

f(x)=sin(ax)^2

Das ist eine doppelte Verkettung einmal zwischen sin und dem, was drin steht und dem Hoch 2

Dies ist dann so abzuleiten:

f'(x)= 2*sin(ax)* cos(ax) * a

Gruß

Smitty

Answer 3

die Aufgabenstellung  wurde inzwischen mit  f(x) = sin((ax)^2)  angegeben, während meine Antwort sich auf f(x) = (sin(ax))^2 bezieht

Hier hast du eine doppelte Verkettung:

$$f(x)= (u\circ v\circ w)(x) =sin(ax)^2$$$$u(v)=v^2$$$$v(w)=sin(w)$$$$w(x)=ax$$
Am besten löst du sie nacheinander.

Answer 4

es ist sin((ax)^ 2)

Ups. Da muss man die vorhandenen Antworten wohl revidieren. Die haben den Sinus quadriert.

Aber:

f(x) = sin((ax)^ 2)

hat als innere Funktion u = (ax)^2 und als äussere Funktion v = sin(u) .

u ist dabei selbst schon geschachtelt.

Es ergibt sich:

f '(x) = cos((ax)^2) * 2(ax) * a

= 2a^2 * x * cos((ax)^2)

Comments

Danke kannst du mir noch sagen wie man es machen würde wenn es jetzt z.B f(x)=(sin(ax))^2 wäre?

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... wenn es jetzt z.B f(x)=(sin(ax))² wäre?

vgl. meine Antwort