Hallo Alonso,
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Man könnte die unendliche Reihe auch so schreiben: $$\lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^k n^2 \left( \frac{\colorbox{#ffff00}{1}}3\right)^n$$ Also als eine (vorläufig) endliche Reihe mit \(k\) Summanden und dann lässt man \(k\) gegen unendlich laufen. Das erste Glied dieser Reihe wäre die Reihe mit \(k=0\), das zweite mit \(k=1\) usw. Und die ersten fünf Glieder sind:
$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^0 n^2 \left( \frac13\right)^n &= 0 \\ \sum_{n=0}^1 n^2 \left( \frac13\right)^n &= 0 + \frac13 = \frac13 \\ \sum_{n=0}^2 n^2 \left( \frac13\right)^n &= \frac13 + 2^2 \left( \frac13\right)^2 = \frac{7}9\\ \sum_{n=0}^3 n^2 \left( \frac13\right)^n &= \frac{7}9 + 3^2 \left( \frac13\right)^3 = \frac{10}9 \\ \sum_{n=0}^4 n^2 \left( \frac13\right)^n &= \frac{10}9 + 4^2 \left( \frac23\right)^4 = \frac{106}{81} \end{aligned}$$ wenn man sich mal graphisch anschaut, wie die Reihe ansteigt ... ~plot~ {0|0};{1|1/3};{2|7/9};{3|10/9};{4|106/81};[[-1|8|-1|5]] ~plot~ dann könnte man meinen, es geht immer so weiter. Aber wie Spacko schon gezeigt hat, kann man eine Reihe finden, die für große \(n\) größer ist als diese, aber konvergiert. Also: $$\sum_{n=4}^\infty n^2 \left( \frac13\right)^n \lt \sum_{n=4}^\infty 2^n \left( \frac13\right)^n = \sum_{n=4}^\infty \left( \frac23 \right)^n \to \text{konvergiert}$$ denn dies ist eine geometrische Reihe mit \(q=\frac23\). Achte darauf, dass ich nicht bei \(n=0\) sondern bei \(n=4\) angefangen habe. Denn es ist erst $$4^2 = 16\le2^{4} = 16$$ Warum konvergiert das? Für die geometrische Reihe gilt: $$ \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} \\ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac23 \right)^n = \frac{1}{1-\frac23} =3 \\ \sum_{n=4}^\infty \left( \frac23 \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac23 \right)^n - \sum_{n=0}^3 \left( \frac23 \right)^n = 3 - \left( 1 + \frac 23 + \frac 49 + \frac8{27}\right) = \frac{16}{27}$$ Das bedeutet, dass $$\sum_{n=0}^\infty n^2 \left( \frac 13\right)^n \lt \sum_{n=0}^3 n^2 \left( \frac 13\right)^n + \frac{16}{27}$$ D.h. die Reihe ist kleiner als ein endlicher Ausdruck und muss daher konvergieren.
Gruß Werner
