Zeigen Sie, das fur jede Mengenfolge (An)n∈ℕ ⊆R mit den Eigenschaften (...) gilt: lim μ( An)=μ( A)

Question

Sei R ein Ring in einer Menge Ω und sei μ : R→  [0;+∞] eine  σ-additive Mengenfunktion.

Zeigen Sie, dass fur jede Mengenfolge (A_n)_n∈ℕ ⊆R mit den Eigenschaften

i) A_n ↓ A (wobei A =∩_n∈ℕ A_n ∈R) und

ii)μ( A_n0 )<∞ fur ein n₀ ∈ ℕ,

gilt:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) μ( An)=μ( A).

Also: Man betrachtet die Mengen B_n =A _n0  \ An, n∈ℕ und verwendet die Dtetigkeit 'von unten' (d.h., die Stetigkeit auf monoton wachsenden Folgen) fur μ.