Mengensystem der Elementarfiguren ist eine Algebra

Question

Das Mengensystem der Elementarfiguren 

A := { I ⊂ ℝⁿ | I ist Vereinigung endlich vieler disjunkter Intervalle}

ist eine Algebra. Wieso ist A keine σ-Algebra?

 

Um zu zeigen, dass A eine Algebra ist muss ich doch zeigen, dass gilt:
a) ø ∈ A
b) F ∈ A => X\F ∈ A
c) F_k ∈ A, k∈ℕ => (Vereinigung von k=1 bis N)(F_k ) ∈ A

Comments

Vielleicht solltest du zuerst die Definition für ein Intervall im $\mathbb{R}^n$ näher beschreiben.

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Das Mengensystem der Elementarfiguren ist eine Algebra

Um zu zeigen, dass das Mengensystem der Elementarfiguren $A$ eine Algebra ist, müssen wir zuerst klären, was eine Algebra im Kontext der Maßtheorie ist. Eine Algebra über einem Grundraum, in diesem Fall $\mathbb{R}^n$, ist ein Mengensystem, das die leere Menge enthält, mit jeder Menge auch das Komplement enthält und das unter endlicher Vereinigung abgeschlossen ist. Lassen Sie uns also die Kriterien für $A$ durchgehen:

a) $\emptyset \in A$

Die leere Menge kann als die Vereinigung von null disjunkten Intervallen betrachtet werden, was sie zu einem trivialen Mitglied von $A$ macht. Daher ist Kriterium $a$ erfüllt.

b) $F \in A \Rightarrow \mathbb{R}^n \backslash F \in A$

Wenn $F \in A$ ist, bedeutet das, $F$ ist eine Vereinigung von endlich vielen disjunkten Intervallen im $\mathbb{R}^n$. Das Komplement $\mathbb{R}^n \backslash F$ lässt sich ebenfalls als Vereinigung von endlich vielen, allerdings möglicherweise anders gearteten, disjunkten Intervallen beschreiben (denken Sie daran, dass Intervalle offene, geschlossene oder halboffene Bereiche sein können, um den gesamten Raum abzudecken). Daher ist auch das Kriterium $b$ erfüllt.

c) $F_k \in A, k\in\mathbb{N} \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{N} F_k \in A$

Da jedes $F_k$ eine Vereinigung von endlich vielen disjunkten Intervallen ist, ist die endliche Vereinigung solcher Sets $F_1, F_2, \ldots, F_N$ ebenfalls eine Vereinigung von endlich vielen disjunkten Intervallen, weil man einfach alle beteiligten Intervalle sammelt. Potenzielle Überlappungen zwischen den Sets können umgeordnet oder verschmolzen werden, um die Bedingung zu erfüllen, dass die resultierende Menge erneut aus disjunkten Intervallen besteht. Folglich ist Kriterium $c$ ebenfalls erfüllt.

Damit ist bewiesen, dass $A$ eine Algebra ist.

Warum ist $A$ keine $\sigma$-Algebra?

Eine $\sigma$-Algebra erweitert die Anforderungen einer Algebra auf unendliche Vereinigungen. Das bedeutet, für ein Mengensystem $A$, das eine $\sigma$-Algebra ist, muss gelten, dass für eine beliebige Folge von Mengen $F_k \in A$ die unendliche Vereinigung $\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k$ ebenfalls in $A$ liegt.

Das Problem mit $A$ in Bezug auf diese Anforderung ist, dass, obwohl jede Menge in $A$ als Vereinigung endlich vieler disjunkter Intervalle definiert wird, die unendliche Vereinigung solcher Mengen nicht notwendigerweise als Vereinigung endlich vieler disjunkter Intervalle dargestellt werden kann. Betrachten Sie zum Beispiel eine Folge von sich stetig verkleinernden Intervallen, die sich einem bestimmten Punkt annähern, aber niemals umfassen. Die unendliche Vereinigung führt zu einer Menge, die sich mit endlich vielen disjunkten Intervallen nicht exakt darstellen lässt, was dazu führt, dass $A$ keine $\sigma$-Algebra ist.