Es soll gezeigt werden, das yn ≤ \( \sqrt{a} \) ≤ xn für alle n ≥ 1 gilt.

Question

Aufgabe:

Es soll gezeigt werden, dass

y_n ≤ \( \sqrt{a} \) ≤ x_n 

für alle n ≥ 1 gilt.

Folgende Informationen sind in der Aufgabe gegeben:

y_n := \( \frac{a}{x_n} \)

x_n+1 := 1/2(x_n+\( \frac{a}{x_n}) \)

Problem/Ansatz:

Ich hatte versucht, dieses Problem mit Hilfe einer Ungleichung zu lösen, was allerdings nicht geklappt hat.

\( \frac{a}{x_n} \) ≤ \( \sqrt{a} \) | ²

=> (a/x_n)² ≤ a | /x_n²

=> a² ≤ a/x_n² | - a²

=> 0 ≤ (a/x_n²)-a²

Völliger Widerspruch, ich denke, dass mein Ansatz komplett falsch ist.

Comments

Tipp: \(\displaystyle x_{n+1}^2-a=\frac14\left(x_n-\frac a{x_n}\right)^2\ge0\).

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Dieser Tipp hilft mir leider nicht besonders weiter. :(

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Hallo Scout, bei dem zu beweisenden Sachverhalt fehlt die Initialisierung:  Was ist x₀?  Wenn man das hat, könnte man das Ganze für n = 1, 2, 3 prüfen und eventuell vollständige Induktion probieren.