Die Stetigkeit habe ich bereits gezeigt, mein Problem ich soll überprüfen ob der ZWS gilt?

Question

Aufgabe:

meine Funktion f:ℚ->ℝ mit f(x)=[1, x² >2 und 0, x² <2

Die Stetigkeit habe ich bereits gezeigt, mein Problem ich soll überprüfen ob der ZWS gilt?

Problem/Ansatz:

Nein, er gilt nicht.

Dh ich muss schauen ob ich zwischen f(a) und f(b) ein s∈[a,b] mit f(x)=s finde.

Der Graph der Funktion hat bei 0 und bei 1 jeweils eine konstante ab x^2>2 (<-> x>\( \sqrt{2} \)) und ab x2 <2.

Zwischen f(a)=1 und f(b)=0 wird allerdings kein Wert angenommen, nach Voraussetzungen. \( \sqrt{2} \)∉ℚ sonst wäre die ganze Funktion nicht stetig.

Mein Problem ich weiß nicht wie ich das genau zeigen soll und ob meine Denkweise richtig ist? Eigentlich muss ich schauen ob es zwischen 0 und 1 reelle Zahlen gibt ?

Answer 1

Hallo,

Du kannst Deine Überlegungen einfach so zusammenfassen: Es gilt \(f(0)=0\) und \(f(2)=1\). Es gibt kein \(x \in [0,2] \cap \mathbb{Q}\) mit \(f(x)=0.5\), weil f überhaupt nur die Werte 0 und 1 annimt. (Dabei ist das Intervall [0,2] und der Wert 0.5 willkürlich gewählt, um es einfach konkret zu machen.)

Comments

Dankeschön, mal wieder zu kompliziert gedacht.

Answer 2

Es ist \(f(1)=0\) und \(f(2)=1\). Nun ist \(0\lt 1/2\lt1\).

Es gibt aber kein \(x\) im Definitionsbereich mit \(f(x)=1/2\),

da ja \(f\) nur die Werte 0 und 1 annimmt.

Ich denke, du hast dir zu komplizierte Gedanken gemacht.

Oh, Mathhilf war schneller ;-)

Comments

Dh der ZWS gilt einfach nicht, weil unsere Funktion so definiert ist und es kein x ex mir f(x)=s mit s∈[0,1].

Dh die Unvollständigkeit ℚ hat nichts damit zu tun,dass der ZWS nicht gilt?

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Die Unvollständigkeit geht in die Tatsache ein, dass

\(f\) stetig ist.