Beweis dass wenn b1, b2, b3 ∈ ℝ auch f'(b1) = f'(b2) = f'(b3) gilt (ZWS)

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℝ -> ℝ eine differenzierbare Abbildung, so dass es vier Zahlen a_1, a_2, a_3, a₄ ∈ ℝ gibt, deren Bilder  f (a₁), f (a₂), (a₃) und f(a₄) alle auf einer Geraden liegen. Zeige, dass es drei Stellen b₁, b₂, b₃ ∈ ℝ.gibt, so dass f'(b₁) = f'(b₂) = f'(b₃)

Problem/Ansatz:

Keine Ahnung, ehrlich gesagt. Finde die Aufgabe viel zu heavy für 'ne Einführungsveranstaltung. Eventuell könnte man sich noch aus den Fingern saugen, dass, wenn f von ℝ in den ℝ geht und differenzierbar ist, und  f (a1), f (a2), (a3) und f(a4) auf einer geraden liegen und dann mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass b auch differenzierbar ist. Aber über b ist ja so gut wie gar nichts bekannt? :(

Answer 1

Hallo

Edit: überall das Wort ZWS durch Mizttelwertsatz MWS ersetzen!

dass f differenzierbar ist, ist doch vorausgesetzt, d.h. der ZWS ist anwendbar. (f(a2)-f(a1))/(a2-a1)=m Steigung der Geraden und der ZWS sagt dass es zwischen a1 und a2 eine b1 gibt mit f'(b1)=m

 dasselbe mit a3,a2 und a4,a3  und in einer Vorlesung die den ZWS behandelt warum soll das da zu schwer sein, irgendwie muss man ihn doch anwenden lernen, und das ist ziemlich geradeaus.

 was du mit "dass b auch differenzierbar" meinst ist mir schleierhaft, die bi sind doch Punkte auf der x-Achse?

Gruß lul

Comments

Also ich hatte in meinem kurzen Leben schon vier Analysis-Vorlesungen hinter mir (davon stammen drei allerdings aus einem anderen Studiengang) und das ändert nichts an der Tatsache, dass ich diese Aufgabe unverhältnismäßig schwer finde.

Der Zwischenwertsatz sagt, nach Adam Ries und Eva Klein, dass wenn a < b ∈ ℝ und f : [a,b] → ℝ stetig auf dem gesamten Intervall [a,b] ist, und dann f(a) < 0 aber f(b) > 0, dann existiert eine Zahl c ∈ (a,b) mit f(c) = 0

Übertragen auf die Aufgabe hieße dass, wenn ein f(a1) < 0 und ein f(a2) > 0 ist, existiert b₁ (im ZWS die "Zahl c" mit f'(b₁) = 1. ?

Ist das jetzt einfach der Beweis, dass man sagt es gibt zwischen a₂ und a₃ ein b₂ mit f(b₂) wegen dem ZWS?

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Hallo

 tut mir leid ich hab den ZWS mit dem Mittelwertsatz als Wort verwechselt, den MWS aber ja angewandt. nach 3 mal Analysis sollte der einfach sein. Wenn er in der Vorlesung dran war, auch für die erste Vorlesung.

Gruß lul